TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 122

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Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz 1

Stetigkeit - elementare Funktionen
Stetigkeit - elementare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz: Seien und stetige Funktionen. Dann sind die folgenden Funktionen - auf geeigneten Definitionsbereichen - ebenfalls stetig:

  • (falls )
  • .

Da Polynome, Winkelfunktionen, Arcusfunktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmen stetig sind, folgt daraus, dass alle elementaren Funktionen in ihrem Definitionsbereich stetig sind. Satz 2

Monotonie - erste Ableitung
Monotonie - erste Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz:

Für eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion gilt: ist genau dann monoton wachsend (fallend) auf I, wenn für alle . Falls die Ableitung auf I die strikte Ungleichung erfüllt, so ist auf I streng monoton. Satz 3

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion

Sei ein Intervall und eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion und ist ebenfalls stetig. (Satz 4.91)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach obigem Satz 1, der besagt, dass Zusammensetzungen von elementaren Funktionen (auf geeignetem Definitionsbereich) stetig sind, folgt daraus, dass stetig ist.

Begründung: Der Definitionsbereich ist geeignet, da die elementaren Funktionen und bzw. im gesamten Definitionsbereich definiert sind. Der Nenner kann somit den Wert für nicht annehmen.

ist stetig

Monotonie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um zu bestimmen ob f(x) streng monoton wächst oder fällt bilden wir die erste Ableitung f'(x):

Man nehme an:

Aufgrund der Tatsache, dass der Defintionsbereich nur positive Zahlen erlaubt gilt folgendes:

Laut obigem Satz 2 folgt daraus, dass f(x) streng monoton fallend ist.

Wir wissen nun also, dass unsere Funktion f(x) stetig und streng monoton fallend ist. Daraus folgt nun nach Satz 3, dass eine stetige Umkehrunktion exisitert.

Umkehrfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stampi 15:12, 21. Apr. 2012 (CEST)

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?93190-Ue-4-Bsp-122