TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 122

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:

$f(x)=\frac{1-x^7}{x^7},D_f=(1,\mathrm{\infty })$

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Hilfreiches

Satz 1

Stetigkeit - elementare Funktionen

Stetigkeit - elementare Funktionen

Satz: Seien $f(x)$ und $g(x)$ stetige Funktionen. Dann sind die folgenden Funktionen - auf geeigneten Definitionsbereichen - ebenfalls stetig:

• $f(x)\pm g(x)$
• $f(x)\ast g(x)$
• $\frac{f(x)}{g(x)}$ (falls $g(x)\ne 0$)
• $f(g(x))$.

Da Polynome, Winkelfunktionen, Arcusfunktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmen stetig sind, folgt daraus, dass alle elementaren Funktionen in ihrem Definitionsbereich stetig sind. Satz 2

Monotonie - erste Ableitung

Monotonie - erste Ableitung

Satz:

Für eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion $f:I\to ℝ$ gilt: $f(x)$ ist genau dann monoton wachsend (fallend) auf I, wenn $f^{\prime }(x)\ge 0(f^{\prime }(x)\le 0)$ für alle $x\in I$. Falls die Ableitung auf I die strikte Ungleichung erfüllt, so ist $f(x)$ auf I streng monoton. Satz 3

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion

Sei $I=[a,b]$ ein Intervall und $f:I\to ℝ$ eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion $f^{-1}:f(I)\to I$ und ist ebenfalls stetig. (Satz 4.91)

Lösungsvorschlag

Stetigkeit

Nach obigem Satz 1, der besagt, dass Zusammensetzungen von elementaren Funktionen (auf geeignetem Definitionsbereich) stetig sind, folgt daraus, dass $f(x)$ stetig ist.

Begründung: Der Definitionsbereich ist geeignet, da die elementaren Funktionen $f(x{)}_1=1-x^7$ und $f(x{)}_2=x^7$ bzw. $f(x)=\frac{1-x^7}{x^7}$ im gesamten Definitionsbereich definiert sind. Der Nenner $x^7$ kann somit den Wert $0$ für $D_f=(1,\mathrm{\infty })$ nicht annehmen.

$\Rightarrow f(x)$ ist stetig

Monotonie

Um zu bestimmen ob f(x) streng monoton wächst oder fällt bilden wir die erste Ableitung f'(x):

Man nehme an: $f(x)=\frac{h(x)}{g(x)}$

$h(x)=1-x^7\Rightarrow h^{\prime }(x)=-7x^6$

$g(x)=x^7\Rightarrow g^{\prime }(x)=7x^6$

$f^{\prime }(x)=\frac{h^{\prime }(x)\ast g(x)-h(x)\ast g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}=$

$=\frac{-7x^6\ast x^7-((1-x^7)\ast 7x^6)}{(x^7{)}^2}$

$=\frac{-7x^{13}-(7x^6-7x^{13})}{x^{14}}$

$=\frac{-7x^{13}-7x^6+7x^{13}}{x^{14}}$

$=\frac{-7x^6}{x^{14}}$

$=\frac{-7}{x^8}$

$\Rightarrow f^{\prime }(x)=\frac{-7}{x^8}$

Aufgrund der Tatsache, dass der Defintionsbereich $D_f=(1,\mathrm{\infty })$ nur positive Zahlen erlaubt gilt folgendes:

$f^{\prime }(x)=\frac{-7}{x^8}<0|\mathrm{\forall }x\in D_f$

$\Rightarrow$ Laut obigem Satz 2 folgt daraus, dass f(x) streng monoton fallend ist.

$\Rightarrow$ Wir wissen nun also, dass unsere Funktion f(x) stetig und streng monoton fallend ist. Daraus folgt nun nach Satz 3, dass eine stetige Umkehrunktion exisitert.

Umkehrfunktion

$y=f(x)$

$y=\frac{1-x^7}{x^7}$

$y\ast x^7=1-x^7$

$y\ast x^7+x^7=1$

$x^7\ast (y+1)=1$

$x^7=\frac{1}{y+1}$

$x=\sqrt[7]{\frac{1}{y+1}}$

$\Rightarrow f^{-1}(x)=\sqrt[7]{\frac{1}{x+1}}$

Stampi 15:12, 21. Apr. 2012 (CEST)

Links

https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?93190-Ue-4-Bsp-122