TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 86

Sei $a_n\ge 0$ und die Reihe ${\Sigma }_{n\ge 0}{a}_n$ konvergent. Man zeige, dass auch die Reihe ${\Sigma }_{n\ge 0}{a}_n^2$ konvergiert.

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Hilfreiches

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergent, dann gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_n$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_n\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" $\left\{\begin{array}{c}\Rightarrow \\ \underset{i.A.}{\nLeftarrow }\end{array}\right\}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_n$ konvergent und $\left|a_n\right|\le b_n$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag von flowlo

Formal

• $\mathrm{\exists }N(1)\in \mathbb{N}:|a_n|<1\mathrm{\forall }n\ge N(1)$, da $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, da ${\Sigma }_{n\ge 0}{a}_n$ konvergent.

• ${\Sigma }_{n\ge 0}{a}_n$ ist konvergente Majorante von ${\Sigma }_{n\ge 0}{a}_n^2$, da $a_n^2<a_n<1\mathrm{\forall }n\ge N(1)$.

Verbal

Da ${\Sigma }_{n\ge 0}{a}_n$ konvergiert, ist $a_n$ eine konvergente Nullfolge. Wir können uns die einzelnen $a_n$ mit steigendem $n$ immer kleiner und kleiner werdend vorstellen. Ab einem gewissen Reihenglied $a_{N(1)}$ sind diese Partialsummen kleiner als eins, somit wird auch das Quadrat von $a_n$ ab diesem Reihenglied immer kleiner und kleiner.

q.e.d. --Flowlo (Diskussion) 11:42, 8. Apr. 2014 (CEST)

Lösungsvorschlag von Kallisto

Wir wissen, dass die Reihe $s_1=\sum _{n\ge 0}{a}_n$ konvergiert. Es folgt (laut Satz 4.35), dass die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist. Da sich die Folge an 0 annähert, bedeutet das auch, dass es einen Punkt in der Folge gibt nachdem jeder Nachfolger kleiner als 1 ist. Quadriert man nun diese Folge, konvergiert die Folge sogar noch schneller.

Formal bedeutet dies, dass es einen Index $N\in \mathbb{N}$ gibt, ab dem für jedes Folgeglied mit Index $k>N$ gilt $0\le a_k<1$. Es folgt, dass somit nur endlich viele Folgeglieder größer als 1 sind bzw. fast alle Folgeglieder kleiner als 1 sind für die Folge $a_n$. Also sind alle Folgeglieder, die größer 1 sind, vernachlässigbar. Quadriert man die Folge, fällt sie nun noch schneller, wodurch $0\le a_n^2\le a_n$ gilt.

Kehren wir zur Reihe $s_2=\sum _{n\ge 0}{a}_n^2$ zurück. Da wir nun wissen, dass $0\le a_n^2\le a_n$ gilt, folgt

$\sum _{n\ge 0}|a_n^2|\le \sum _{n\ge 0}{a}_n$

und somit können wir $s_1$ als Majorante verwenden.

Da wir gezeigt haben, dass $s_1$ größer als $s_2$ ist und $s_1$ konvergiert, folgt aus dem Majorantenkriterium, dass $s_2$ absolut konvergiert.

Links

• Matroids Matheplanet: Konvergenz der Reihe impliziert Konvergenz ihres Quadrats
• Matroids Matheplanet: $a_n$ ist eine absolut konvergente Reihe, $a_n^2$ divergiert, gibt es so etwas? (Suche nach einem Gegenbeispiel zu unserer Aussage.)