TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 86

Sei $a_{n}\geq 0$ und die Reihe $\Sigma _{n\geq 0}\ a_{n}$ konvergent. Man zeige, dass auch die Reihe $\Sigma _{n\geq 0}\ a_{n}^{2}$ konvergiert.

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Hilfreiches

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergent, dann gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_{n}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_{n}\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\begin{Bmatrix}\Rightarrow \\{\underset {i.A.}{\nLeftarrow }}\end{Bmatrix}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Majorantenkriterium

Wenn $\sum b_{n}$ konvergent und $\left|a_{n}\right|\leq b_{n}$ für fast alle $n$, dann ist $\sum a_{n}$ absolut konvergent.   (Satz 4.47)

Lösungsvorschlag von flowlo

Formal

• $\exists \ N(1)\in \mathbb {N} :|a_{n}|<1\ \forall n\geq N(1)$, da $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$, da $\Sigma _{n\geq 0}\ a_{n}$ konvergent.

• $\Sigma _{n\geq 0}\ a_{n}$ ist konvergente Majorante von $\Sigma _{n\geq 0}\ a_{n}^{2}$, da $a_{n}^{2}<a_{n}<1\ \forall n\geq N(1)$.

Verbal

Da $\Sigma _{n\geq 0}\ a_{n}$ konvergiert, ist $a_{n}$ eine konvergente Nullfolge. Wir können uns die einzelnen $a_{n}$ mit steigendem $n$ immer kleiner und kleiner werdend vorstellen. Ab einem gewissen Reihenglied $a_{N(1)}$ sind diese Partialsummen kleiner als eins, somit wird auch das Quadrat von $a_{n}$ ab diesem Reihenglied immer kleiner und kleiner.

q.e.d. --Flowlo (Diskussion) 11:42, 8. Apr. 2014 (CEST)

Links

• Matroids Matheplanet: Konvergenz der Reihe impliziert Konvergenz ihres Quadrats
• Matroids Matheplanet: $a_{n}$ ist eine absolut konvergente Reihe, $a_{n}^{2}$ divergiert, gibt es so etwas? (Suche nach einem Gegenbeispiel zu unserer Aussage.)