TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 122

Man zeige, dass die folgenden Funktionen stetige Umkehrfunktionen haben und bestimme diese:
$f(x)={\frac {1-x^{7}}{x^{7}}},D_{f}=(1,\infty )$

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz 1

Stetigkeit - elementare Funktionen

Stetigkeit - elementare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz: Seien $f(x)$ und $g(x)$ stetige Funktionen. Dann sind die folgenden Funktionen - auf geeigneten Definitionsbereichen - ebenfalls stetig:

$f(x)\pm g(x)$
$f(x)*g(x)$
${\frac {f(x)}{g(x)}}$ (falls $g(x)\neq 0$ )
$f(g(x))$ .

Da Polynome, Winkelfunktionen, Arcusfunktionen, Exponentialfunktionen und Logarithmen stetig sind, folgt daraus, dass alle elementaren Funktionen in ihrem Definitionsbereich stetig sind. Satz 2

Monotonie - erste Ableitung

Monotonie - erste Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz:

Für eine auf einem Intervall I differenzierbare Funktion $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ gilt: $f(x)$ ist genau dann monoton wachsend (fallend) auf I, wenn $f'(x)\geq 0(f'(x)\leq 0)$ für alle $x\in I$ . Falls die Ableitung auf I die strikte Ungleichung erfüllt, so ist $f(x)$ auf I streng monoton. Satz 3

Umkehrfunktion einer stetigen, streng monotonen Funktion

Sei $I=[a,b]$ ein Intervall und $f\colon I\to \mathbb {R}$ eine streng monotone und stetige Funktion. Dann existiert die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon f(I)\to I$ und ist ebenfalls stetig. (Satz 4.91)

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach obigem Satz 1, der besagt, dass Zusammensetzungen von elementaren Funktionen (auf geeignetem Definitionsbereich) stetig sind, folgt daraus, dass $f(x)$ stetig ist.

Begründung: Der Definitionsbereich ist geeignet, da die elementaren Funktionen $f(x)_{1}=1-x^{7}$ und $f(x)_{2}=x^{7}$ bzw. $f(x)={\frac {1-x^{7}}{x^{7}}}$ im gesamten Definitionsbereich definiert sind. Der Nenner $x^{7}$ kann somit den Wert $0$ für $D_{f}=(1,\infty )$ nicht annehmen.

$\Rightarrow f(x)$ ist stetig

Monotonie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um zu bestimmen ob f(x) streng monoton wächst oder fällt bilden wir die erste Ableitung f'(x):

Man nehme an: $f(x)={\frac {h(x)}{g(x)}}$

$h(x)=1-x^{7}\Rightarrow h'(x)=-7x^{6}$

$g(x)=x^{7}\Rightarrow g'(x)=7x^{6}$

$f'(x)={\frac {h'(x)*g(x)-h(x)*g'(x)}{g(x)^{2}}}=$

$={\frac {-7x^{6}*x^{7}-((1-x^{7})*7x^{6})}{(x^{7})^{2}}}$

$={\frac {-7x^{13}-(7x^{6}-7x^{13})}{x^{14}}}$

$={\frac {-7x^{13}-7x^{6}+7x^{13}}{x^{14}}}$

$={\frac {-7x^{6}}{x^{14}}}$

$={\frac {-7}{x^{8}}}$

$\Rightarrow f'(x)={\frac {-7}{x^{8}}}$

Aufgrund der Tatsache, dass der Defintionsbereich $D_{f}=(1,\infty )$ nur positive Zahlen erlaubt gilt folgendes:

$f'(x)={\frac {-7}{x^{8}}}<0|\forall x\in D_{f}$

$\Rightarrow$ Laut obigem Satz 2 folgt daraus, dass f(x) streng monoton fallend ist.

$\Rightarrow$ Wir wissen nun also, dass unsere Funktion f(x) stetig und streng monoton fallend ist. Daraus folgt nun nach Satz 3, dass eine stetige Umkehrunktion exisitert.