Man berechne die folgenden uneigentlichen Integrale:
(a) ∫1e3dxxlnx{\displaystyle \int _{1}^{e^{3}}{\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {\ln x}}}}}
(b) ∫0∞xe−xdx{\displaystyle \int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,\mathrm {d} x}
∫udv=uv−∫vdu{\displaystyle \int u\;dv=uv-\int v\;du} alias ∫u(x)v′(x)=u(x)v(x)−∫u′(x)v(x){\displaystyle \int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)} ∫f(u(x))u′(x)dx=∫f(u)du{\displaystyle \int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du} mit u=u(x){\displaystyle u=u(x)} (Satz 5.41)
∫dxxlnx=2lnx+C{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {\ln x}}}}=2{\sqrt {\ln x}}+C}
∫1e3dxxlnx=limc→12lnx|ce3=limc→12lne3−2lnc=23−limc→12lnc=23−0=23{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{1}^{e^{3}}{\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {\ln x}}}}&=\lim _{c\to 1}\left.2{\sqrt {\ln x}}\right|_{c}^{e^{3}}\\&=\lim _{c\to 1}2{\sqrt {\ln e^{3}}}-2{\sqrt {\ln c}}\\&=2{\sqrt {3}}-\lim _{c\to 1}2{\sqrt {\ln c}}\\&=2{\sqrt {3}}-0\\&=2{\sqrt {3}}\end{aligned}}}
ähnliches Beispiel: Übungen WS07/Beispiel 30
∫xe−xdx=−x⋅e−x−∫−e−xdx+C=−x⋅e−x−e−x+C=−e−x(1+x)+C{\displaystyle {\begin{aligned}\int xe^{-x}\,\mathrm {d} x&=-x\cdot e^{-x}-\int -e^{-x}\,\mathrm {d} x+C\\&=-x\cdot e^{-x}-e^{-x}+C\\&=-e^{-x}\left(1+x\right)+C\end{aligned}}}
∫0∞xe−xdx=−e−x(1+x)|0∞=limc→∞−e−x(1+x)|0c=limc→∞−e−c(1+c)+e−0(1+0)=limc→∞−1+cec+1(1+0)=1−limc→∞1+cec=1−0=1{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,\mathrm {d} x&=\left.-e^{-x}\left(1+x\right)\right|_{0}^{\infty }\\&=\lim _{c\to \infty }\left.-e^{-x}\left(1+x\right)\right|_{0}^{c}\\&=\lim _{c\to \infty }-e^{-c}\left(1+c\right)+e^{-0}\left(1+0\right)\\&=\lim _{c\to \infty }-{\frac {1+c}{e^{c}}}+1\left(1+0\right)\\&=1-\lim _{c\to \infty }{\frac {1+c}{e^{c}}}\\&=1-0\\&=1\end{aligned}}}
siehe auch: Übungen WS07/Beispiel 31
alias
mit 
(Satz 5.41)
