TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 10

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Man berechne die folgenden uneigentlichen Integrale:

(a) \int_1^{e^3} \frac{\mathrm dx}{x \sqrt{\ln x}}

(b) \int_0^\infty x e^{-x}\,\mathrm dx

Hilfreiches[edit]

Vorlage:Partielle Integration Vorlage:Substitutionsregel

Lösungsvorschlag[edit]

Beispiel (a)[edit]

\int \frac{\mathrm dx}{x \sqrt{\ln x}} = 2 \sqrt{\ln x} + C


\begin{align}
\int_1^{e^3} \frac{\mathrm dx}{x \sqrt{\ln x}}
&= \lim_{c \to 1} \left. 2 \sqrt{\ln x} \right|_c^{e^3} \\
&= \lim_{c \to 1} 2 \sqrt{\ln e^3} - 2 \sqrt{\ln c} \\
&= 2 \sqrt{3} - \lim_{c \to 1} 2 \sqrt{\ln c} \\
&= 2 \sqrt{3} - 0 \\
&= 2 \sqrt{3}
\end{align}


ähnliches Beispiel: Übungen WS07/Beispiel 30

Beispiel (b)[edit]

\begin{align}
\int x e^{-x} \,\mathrm dx
&= -x \cdot e^{-x} - \int -e^{-x}\,\mathrm dx + C \\
&= -x \cdot e^{-x} - e^{-x} + C \\
&= -e^{-x} \left( 1+x \right) + C
\end{align}


\begin{align}
\int_0^\infty x e^{-x} \,\mathrm dx
&= \left. -e^{-x} \left( 1+x \right) \right|_0^\infty \\
&= \lim_{c \to \infty} \left. -e^{-x} \left( 1+x \right) \right|_0^c \\
&= \lim_{c \to \infty} -e^{-c} \left( 1+c \right) + e^{-0} \left( 1+0 \right) \\
&= \lim_{c \to \infty} -\frac{1+c}{e^c} + 1 \left( 1+0 \right) \\
&= 1 - \lim_{c \to \infty} \frac{1+c}{e^c} \\
&= 1 - 0 \\
&= 1
\end{align}


siehe auch: Übungen WS07/Beispiel 31