TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 10

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Man berechne die folgenden uneigentlichen Integrale:

(a) ${\int }_1^{e^3}\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{\ln x}}$

(b) ${\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}\mathrm{d}x$

Hilfreiches

Partielle Integration

$\int udv=uv-\int vdu$ alias $\int u(x)v^{\prime }(x)=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)$

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{\ln x}}=2\sqrt{\ln x}+C$

$\begin{array}{cc}{\int }_1^{e^3}\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{\ln x}}& =\underset{c\to 1}{lim}{2\sqrt{\ln x}|}_c^{e^3}\\ & =\underset{c\to 1}{lim}2\sqrt{\ln e^3}-2\sqrt{\ln c}\\ & =2\sqrt{3}-\underset{c\to 1}{lim}2\sqrt{\ln c}\\ & =2\sqrt{3}-0\\ & =2\sqrt{3}\end{array}$

ähnliches Beispiel: Übungen WS07/Beispiel 30

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}\int x{e}^{-x}\mathrm{d}x& =-x\cdot e^{-x}-\int -e^{-x}\mathrm{d}x+C\\ & =-x\cdot e^{-x}-e^{-x}+C\\ & =-e^{-x}(1+x)+C\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}x{e}^{-x}\mathrm{d}x& ={-e^{-x}(1+x)|}_0^{\mathrm{\infty }}\\ & =\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}{-e^{-x}(1+x)|}_0^c\\ & =\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}-e^{-c}(1+c)+e^{-0}(1+0)\\ & =\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{1+c}{e^c}+1(1+0)\\ & =1-\underset{c\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+c}{e^c}\\ & =1-0\\ & =1\end{array}$

siehe auch: Übungen WS07/Beispiel 31