TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 10

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Man berechne die folgenden uneigentlichen Integrale:

(a) $\int _{1}^{e^{3}}{\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {\ln x}}}}$

(b) $\int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,\mathrm {d} x$

Hilfreiches

Partielle Integration

$\int u\;dv=uv-\int v\;du$ alias $\int u(x)\;v'(x)=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)$

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$\int {\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {\ln x}}}}=2{\sqrt {\ln x}}+C$

${\begin{aligned}\int _{1}^{e^{3}}{\frac {\mathrm {d} x}{x{\sqrt {\ln x}}}}&=\lim _{c\to 1}\left.2{\sqrt {\ln x}}\right|_{c}^{e^{3}}\\&=\lim _{c\to 1}2{\sqrt {\ln e^{3}}}-2{\sqrt {\ln c}}\\&=2{\sqrt {3}}-\lim _{c\to 1}2{\sqrt {\ln c}}\\&=2{\sqrt {3}}-0\\&=2{\sqrt {3}}\end{aligned}}$

ähnliches Beispiel: Übungen WS07/Beispiel 30

Beispiel (b)

${\begin{aligned}\int xe^{-x}\,\mathrm {d} x&=-x\cdot e^{-x}-\int -e^{-x}\,\mathrm {d} x+C\\&=-x\cdot e^{-x}-e^{-x}+C\\&=-e^{-x}\left(1+x\right)+C\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }xe^{-x}\,\mathrm {d} x&=\left.-e^{-x}\left(1+x\right)\right|_{0}^{\infty }\\&=\lim _{c\to \infty }\left.-e^{-x}\left(1+x\right)\right|_{0}^{c}\\&=\lim _{c\to \infty }-e^{-c}\left(1+c\right)+e^{-0}\left(1+0\right)\\&=\lim _{c\to \infty }-{\frac {1+c}{e^{c}}}+1\left(1+0\right)\\&=1-\lim _{c\to \infty }{\frac {1+c}{e^{c}}}\\&=1-0\\&=1\end{aligned}}$

siehe auch: Übungen WS07/Beispiel 31