TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 48

Eine Funktion $f(x_1,\mathrm{...},x_n)$ heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste $\lambda >0$ und alle $(x_1,\mathrm{...},x_n)$ aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

$f(\lambda x_1,\mathrm{...},\lambda x_n)={\lambda }^{r}f(x_1,\mathrm{...},x_n)$.

Man prüfe nach, ob die Funktionen

(a) $f(x,y,z)=x+\sqrt{yz}$ (für $x,y,z\ge 0$),

(b) $V(r_1,r_2,h)=\frac{\pi h}{3}({r_1}^2+r_1{r}_2+{r_2}^2)$ (für $r_1,r_2,h\ge 0$),

(c) $O(r_1,r_2,h)=\pi ({r_1}^2+{r_2}^2+(r_1+r_2)\sqrt{h^2+(r_1-r_2{)}^2})$ (für $r_1,r_2,h\ge 0$),

(d) $P(A,K)=x{A}^{\alpha }{K}^{\beta }$ (für $A,K\ge 0,\alpha ,\beta ,c>0$),

homogen sind und gebe ggf. den Homogenitätsgrad r an.

Lösungsvorschlag von Nomnomnom

Beispiel a

$\begin{array}{cc}f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)& =\lambda x+\sqrt{\lambda y\lambda z}\\ & =\lambda x+\sqrt{{\lambda }^{2}yz}\\ & =\lambda x+\lambda \sqrt{yz}\\ & =\lambda (x+\sqrt{yz})\\ & =\lambda f(x,y,z)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $r=1$.

Beispiel b

$\begin{array}{cc}V(\lambda r_1,\lambda r_2,\lambda h)& =\frac{\pi \lambda h}{3}({(\lambda r_1)}^2+\lambda r_1\lambda r_2+{(\lambda r_2)}^2)\\ & =\frac{\pi \lambda h}{3}({\lambda }^2({r_1}^2+r_1{r}_2+{r_2}^2))\\ & ={\lambda }^3(\frac{\pi h}{3}({r_1}^2+r_1{r}_2+{(r_2)}^2))\\ & ={\lambda }^{3}V(r_1,r_2,h)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $r=3$.

Beispiel c

$\begin{array}{cc}O(\lambda r_1,\lambda r_2,\lambda h)& =\pi ({(\lambda r_1)}^2+{(\lambda r_2)}^2+(\lambda r_1+\lambda r_2)\sqrt{(\lambda h{)}^2+(\lambda r_1-\lambda r_2{)}^2})\\ & =\pi ({\lambda }^2({r_1}^2+{r_2}^2)+\lambda (r_1+r_2)\sqrt{{\lambda }^2(h^2+(r_1-r_2{)}^2})\\ & =\pi ({\lambda }^2({r_1}^2+{r_2}^2)+{\lambda }^2(r_1+r_2)\sqrt{(h^2+(r_1-r_2{)}^2})\\ & ={\lambda }^2\left(\pi ({r_1}^2+{r_2}^2+(r_1+r_2)\sqrt{h^2+(r_1-r_2{)}^2})\right)\\ & ={\lambda }^{2}O(r_1,r_2,h)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $r=2$.

Beispiel d

$\begin{array}{cc}P(\lambda A,\lambda K)& =x(\lambda A{)}^{\alpha }(\lambda K{)}^{\beta }\\ & ={\lambda }^{\alpha +\beta }\left(x{A}^{\alpha }{K}^{\beta }\right)\\ & ={\lambda }^{\alpha +\beta }P(A,K)\end{array}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $r=\alpha +\beta$.

Links

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 16 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 9 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 296 (ähnliches Beispiel)
• TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 297 (ähnliches Beispiel)