TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS19/Beispiel 48

Eine Funktion $f(x_{1},...,x_{n})$ heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste $\lambda >0$ und alle $(x_{1},...,x_{n})$ aus einem geeigneten Definitionsbereich gilt

$f(\lambda x_{1},...,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}f(x_{1},...,x_{n})$.

Man prüfe nach, ob die Funktionen

(a) $f(x,y,z)=x+{\sqrt {yz}}$ (für $x,y,z\geq 0$),

(b) $V(r_{1},r_{2},h)={\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2})$ (für $r_{1},r_{2},h\geq 0$),

(c) $O(r_{1},r_{2},h)=\pi \left({r_{1}}^{2}+{r_{2}}^{2}+(r_{1}+r_{2}){\sqrt {h^{2}+(r_{1}-r_{2})^{2}}}\right)$ (für $r_{1},r_{2},h\geq 0$),

(d) $P(A,K)=xA^{\alpha }K^{\beta }$ (für $A,K\geq 0,\alpha ,\beta ,c>0$),

homogen sind und gebe ggf. den Homogenitätsgrad r an.

Lösungsvorschlag von Nomnomnom

Beispiel a

${\begin{aligned}f(\lambda x,\lambda y,\lambda z)&=\lambda x+{\sqrt {\lambda y\lambda z}}\\&=\lambda x+{\sqrt {\lambda ^{2}yz}}\\&=\lambda x+\lambda {\sqrt {yz}}\\&=\lambda \left(x+{\sqrt {yz}}\right)\\&=\lambda f(x,y,z)\end{aligned}}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $r=1$.

Beispiel b

${\begin{aligned}V(\lambda r_{1},\lambda r_{2},\lambda h)&={\frac {\pi \lambda h}{3}}({(\lambda r_{1})}^{2}+\lambda r_{1}\lambda r_{2}+{(\lambda r_{2})}^{2})\\&={\frac {\pi \lambda h}{3}}(\lambda ^{2}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{r_{2}}^{2}))\\&=\lambda ^{3}\left({\frac {\pi h}{3}}({r_{1}}^{2}+r_{1}r_{2}+{(r_{2})}^{2})\right)\\&=\lambda ^{3}V(r_{1},r_{2},h)\end{aligned}}$

Die Funktion ist homogen vom Grad $r=3$.

Beispiel c

$r=2$