TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 13

(1P) Vollständige Induktion (oder eben nicht)

In $\mathbb{N}$ gilt die "vollständige Induktion": Wenn $\phi (0)$ gilt, und für alle $n\in \mathbb{N}\phi (n)\to \phi (n+1)$ gilt, dann gilt $\phi (m)$ für alle $m\in \mathbb{N}$. (Intuitiv: $\phi (0)$ gilt; $\phi (0)\to \phi (1)$ gilt als Instanz $m=0$ der Voraussetzung, und daher gilt $\phi (1)$. Analog für $\phi (2)$, $\phi (3)$, etc.)

Zeige: In $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$ und $ℝ$ gilt die vollständige Induktion nicht. (D.h.: Finde einen Satz $\phi (x)$ so dass im jeweiligen Zahlenbereich gilt: $\phi (0)$ und $\phi (x)\to \phi (x+1)$ für jedes $x$; aber es gibt ein $y$ mit $\mathrm{\neg }\phi (y)$.)

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