TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 13

(1P) Vollständige Induktion (oder eben nicht)

In $\mathbb {N}$ gilt die "vollständige Induktion": Wenn $\varphi (0)$ gilt, und für alle $n\in \mathbb {N} \ \varphi (n)\rightarrow \varphi (n+1)$ gilt, dann gilt $\varphi (m)$ für alle $m\in \mathbb {N}$. (Intuitiv: $\varphi (0)$ gilt; $\varphi (0)\rightarrow \varphi (1)$ gilt als Instanz $m=0$ der Voraussetzung, und daher gilt $\varphi (1)$. Analog für $\varphi (2)$, $\varphi (3)$, etc.)

Zeige: In $\mathbb {Z}$, $\mathbb {Q}$ und $\mathbb {R}$ gilt die vollständige Induktion nicht. (D.h.: Finde einen Satz $\varphi (x)$ so dass im jeweiligen Zahlenbereich gilt: $\varphi (0)$ und $\varphi (x)\rightarrow \varphi (x+1)$ für jedes $x$; aber es gibt ein $y$ mit $\neg \varphi (y)$.)

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