TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen WS22/Beispiel 6

(2P) Periodische Funktion

Eine Funktion heißt periodisch, wenn:

$$(\exists p>0)(\forall x\in \mathbb {R} )f(x+p)=f(x).$$

So ein $p$ nennt man (eine) Periode der Funktion $f$. Zum Beispiel ist $sin(x)$ periodisch, mit Periode $2\pi$.

(a) Warum steht in der Definition $p>0$? Was passiert wenn man beliebiges $p$ zulässt.

(b) Ändert sich der Begriff wenn man die Quantoren vertauscht? Nennen wir $f$ “babig” wenn $(\forall x\in \mathbb {R} )(\exists p>0)f(x+p)=f(x)$. Ist babig zu sein dasselbe wie periodisch? Stärker? Schwächer? Gib eine Funktion an die babig ist aber nicht periodisch.

(c) Beweise: Wenn eine Funktion periodisch ist, dann gibt es mehrere verschiedene Perioden.

(d) $sin(x)$ hat eine kleinste Periode. Welche?

(e) Nicht jede periodische Funktion hat eine kleinste Periode. Gib ein Beispiel für so eine Funktion an.

(f) Gib eine Funktion mit Periode 17 an.

(g) Gib eine Funktion an deren minimale Periode 17 ist.

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