Man zeige, dass die Folge
konvergiert, indem man zu beliebigem
ein
angebe.
Anleitung: Zeigen Sie zunächst
.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:
{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
- Sandwich-Theorem
Seien
und
konvergente Folgen mit
.
Sei
eine Folge mit
für fast alle
.
Dann folgt die Konvergenz von
und es gilt
. (Satz 4.22)
von --Sk4g3n (Diskussion) 21:58, 14. Apr. 2013 (CEST)
Induktionsanfang: n = 0
Induktionsschritt: annahme:
Es gilt also:
Aus dem Sandwichtheorem folgt
Da
gilt kann
mit
berechnet werden.
Anmerkung 6 Jahre später: Der Induktionsbeweis hier ist imo nicht schlüssig. Man darf das
bei dem Induktionsschritt
nicht einfach durch
ersetzen, weil die Ungleichung der Ind. Beh. in die falsche Richtung ist. (Als Extrembeispiel: Wäre die Ind. Beh.
, dann würde man durch einsetzen auf
kommen, was offensichtlich nicht stimmt)
Analog zu Beispiel 9,10 und 11 (SS14)
Induktionsanfang:
Induktionsbehauptung:
Induktionsschritt:
Jetzt die Induktionsbehauptung links einsetzten und wir kommen auf:
Dadurch können den Grenzwert von
feststellen:
Aber weil
können wir sagen, dass:
Und jetzt kommen wir zur Lösung:
Wir setzen statt
ein, weil
1) mit 2^n multiplizieren
2) mit
dividieren
um n runterzubekommen
anwenden.
Lösung:
Beispiel 9 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS13/Beispiel_9
Beispiel 10 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS13/Beispiel_10
Beispiel 11 (SS14): TU_Wien:Analysis_UE_(diverse)/Übungen_SS14/Beispiel_11