TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 10

Sei $a_{n}={\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}$ für $n\geq 1$. Man zeige, dass die Folge $a_{n}$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\varepsilon >0$ ein $N(\varepsilon )$ angebe.

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Siehe auch TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS17/Beispiel 10

Hilfreiches

Sandwich-Theorem

Seien $(a_{n})_{n\geq 0}$ und $(b_{n})_{n\geq 0}$ konvergente Folgen mit $\lim _{n\rightarrow +\infty }a_{n}=\lim _{n\rightarrow +\infty }b_{n}=a$. Sei $(c_{n})_{n\geq 0}$ eine Folge mit $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ für fast alle $n\in \mathbb {N}$.

Dann folgt die Konvergenz von $c_{n}$ und es gilt $\lim _{n\rightarrow +\infty }c_{n}=a$. (Satz 4.22)

Lösung 1

Wir untersuchen einmal $b_{n}=\sin(n)$ und $c_{n}={\sqrt[{4}]{n}}$. Dabei sehen wir, dass die Ergebnisse für $-1\leq b_{n}\leq 1$ sind, und $\lim _{n\to \infty }c_{n}=\infty$. Wir vermuten also, dass $\lim _{n\to \infty }{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$, da der Zähler des Bruches immer zwischen -1 und +1 ist, und der Nenner schön langsam gegen unendlich konvergiert.

$0\leq \left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\right|\leq {\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$

Jetzt ist sowohl $\lim _{n\to \infty }0=0$ als auch $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$.

Jetzt gilt dank dem Sandwich-Theorem, dass auch

$\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\right|=\lim _{n\to \infty }{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$

Jetzt wissen, dass wir es mit einer Nullfolge zu tun haben. Wir können analog zu 522 folgenden Ansatz wählen, um ein $N(\varepsilon )$ zu finden:

${\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}\leq \varepsilon$

${\frac {1}{n}}\leq \varepsilon ^{4}$

${\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}\leq n=N(\varepsilon )$

Lösung 2

Eine Folge $a_{n}$ konvergiert gegen den Grenzwert $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ einen Index $n_{0}$ gibt, ab dem alle Elemente im Intervall $(a-\varepsilon ,a+\varepsilon )$ liegen. Die Funktion $N(\varepsilon )$ berechnet zu jedem $\varepsilon$ einen passenden Index $n_{0}$.

$\varepsilon$ darf weder ausgesucht noch berechnet werden.

Das heißt, folgende Ungleichung muss erfüllt werden:

$\left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}-a\right|<\varepsilon$

Wir wissen außerdem, dass $-1<\sin(n)<1$ und dass ${\sqrt[{4}]{n}}\to +\infty$ und daher $\left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\right|\to 0=a$.

Um die Ungleichung zu vereinfachen, schätzen wir nach unten hin ab:

$\left|{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\right|\leq {\frac {1}{|{\sqrt[{4}]{n}}|}}<\varepsilon$

Wir kommen wenn wir dieses Wissen jetzt einsetzen auf folgendes:

${\frac {1}{|{\sqrt[{4}]{n}}|}}<\varepsilon$

Jetzt mache ich 3 Arbeitsschritte auf einmal:

1. mit ${\sqrt[{4}]{n}}$ multiplizieren
2. mit $\varepsilon$ dividieren
3. mit $4$ potentieren

Das ergibt nun:

${\frac {1^{4}}{\varepsilon ^{4}}}<n$

Lösung:

$N(\varepsilon )={\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}$

Quellen

• Lösung 1:
  • Datei:TU Wien-Analysis UE (diverse) - 2. Übung SS2012 Analysis Bsp. 10.pdf
• Lösung 2:
  • Beispiel 9 (SS14): TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS08/Beispiel_442#L.C3.B6sung_2
• Erklärung vom Informatik Forum: https://web.archive.org/web/*/www.informatik-forum.at/showthread.php?78267-Folgen-Epsilon-Umgebung

Hilfreiches von Har203

Folgen reeller Zahlen

Siehe auch Hilfe:Analysis#Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 10.

Beschränktheit

Beschränktheit

Beschränktheit von Folgen und Reihen:

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt nach ${\begin{Bmatrix}{\text{oben}}\\{\text{unten}}\end{Bmatrix}}$ beschränkt $\Longleftrightarrow \exists a\in \mathbb {R} \quad \forall n\in \mathbb {N} :{\begin{cases}x_{n}\leq a&{\text{obere Schranke}}\\x_{n}\geq a&{\text{untere Schranke}}\end{cases}}$

• $\langle x_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ heißt beschränkt, wenn sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt.

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \epsilon >0\quad \exists N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Konvergenz von Folgen

Konvergenz einer Folge

Konvergenzeigenschaften von Folgen:

1. Jede konvergente Folge ist beschränkt.
2. Eine monotone Folge ist genau dann konvergent, wenn sie beschränkt ist.

   In $\mathbb {R}$ (aber z.B. nicht in $\mathbb {Q}$!) gilt:

   • $a_{n}\nearrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{sup}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
   • $a_{n}\searrow :\quad \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}={\text{inf}}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$
3. $\lim x_{n}=x,\;\lim y_{n}=y\Longrightarrow {\begin{cases}\lim(x_{n}\pm y_{n})=x\pm y\\\lim(x_{n}\cdot y_{n})=x\cdot y\\\lim({\frac {x_{n}}{y_{n}}})={\frac {x}{y}}\qquad y_{n},y\neq 0\end{cases}}$

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 08:07, 7. Mär. 2026 (CET)

Man zeige, dass die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, indem man zu beliebigem $\varepsilon >0$ ein $N(\varepsilon )$ und ein geeignetes $a$ angebe, sodass $\forall n>N(\varepsilon )\colon \,\left\vert \,a_{n}-a\,\right\vert <\varepsilon$.

$a_{n}={\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}},\quad n\geq 1$.

• Anmerkung zum Endergebnis: Eigentlich müsste man im Ergebnis die Schranke für $N(\varepsilon )=\max(1,\lfloor {\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}\rfloor )$ definierten. Da die Folge $\langle a_{n}\rangle$ für den Index $0$ gar nicht definiert ist, lassen wir diese Fallunterscheidung weg.

Wir schauen uns die ersten Glieder von $\langle a_{n}\rangle$ an. Da die Folge ${\sqrt[{4}]{x}}$ nur sehr langsam steigt, verwenden wir hier die 10er Potenzen:

${\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline n=&a_{n}&{\sqrt[{4}]{n}}&\,&n=&a_{n}&{\sqrt[{4}]{n}}\\\hline 1&0,841470985&1&\,&10&-0,305925552&1,77827941\\\hline 100&-0,160126875&3,16227766&\,&1000&0,147042286&5,623413252\\\hline 10000&-0,030561439&10&\,&100000&0,002010303&17,7827941\\\hline 1000000&-0,011067766&31,6227766&\,&10000000&0,007478515&56,23413252\\\hline 100000000&0,00931639&100\\\hline \end{array}}$

Wir zerlegen diese Folge in ihre Bestandteile$\colon \;\langle b_{n}\rangle \colon \,b_{n}=\sin(n),\quad \;\langle c_{n}\rangle \colon \,c_{n}={\sqrt[{4}]{n}},\quad n\geq 1$.

• Die Folge $\langle b_{n}\rangle$ mit $b_{n}=\sin(n)$ hat den Bildbereich $[-1,+1]$, ist damit beschränkt und es gilt $\left\vert \,b_{n}\right\vert =\left\vert \,\sin(n)\right\vert \leq 1\,$.

• Die Folge $\langle c_{n}\rangle$ mit $c_{n}={\sqrt[{4}]{n}}$ ist unbegrenzt, streng monoton steigend, $\lim _{n\to \infty }\,c_{n}=\lim _{n\to \infty }\,{\sqrt[{4}]{n}}=+\infty$.

• Daher ist $\langle d_{n}\rangle$ mit $\;\;d_{n}={\frac {1}{c_{n}}}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$ streng monoton fallend und konvertiert als Nullfolge gegen den Grenzwert $a=0$.

Beweis: Sei $\varepsilon >0,\,\varepsilon \in \mathbb {R}$ gegeben und $a=0$ der vermutete Grenzwert. Zu zeigen ist, dass $\exists \,N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ mit $\left\vert \,d_{n}-0\,\right\vert <\varepsilon ,$ für alle $n>N(\varepsilon )\implies \vert \,{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}-0\,\vert =\vert \,{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}\,\vert ={\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}<\varepsilon \implies {\frac {1}{\varepsilon }}<{\sqrt[{4}]{n}}\implies N(\varepsilon )=\lfloor \,{\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}\,\rfloor <n\implies \langle d_{n}\rangle$ konvergiert gegen $0$.

• Da die Folge $b_{n}={\color {green}\sin(n){\text{ beschränkt}}}$ ist und $d_{n}={\color {green}{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}{\text{ streng monoton fallend}}}$ und als ${\color {green}{\text{Nullfolge}}}$ gegen den Grenzwert $a=0$ konvergiert, gilt:

$\lim _{n\to \infty }\ {\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$, also $\forall \;\varepsilon >0\colon \;\exists N(\varepsilon )\in \mathbb {R} ^{+}$ mit $\left\vert \,a_{n}-0\,\right\vert =\left\vert \,a_{n}\,\right\vert =\left\vert \,{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\,\right\vert ={\frac {\left\vert \,\sin(n)\,\right\vert }{\sqrt[{4}]{n}}}<\varepsilon ,\forall \;n>N(\varepsilon )$.

$\implies$ Das wäre als Beweis der Konvergenz der Folge $\langle a_{n}\rangle$ ausreichend. Wir werden die Konvergenz zusätzlich über das Sandwich-Theorem zeigen.

Sandwich-Theorem:

Seien $\langle a\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ und $\langle b\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ konvergente Folgen mit $\lim _{n\to +\infty }\,a_{n}=\lim _{n\to +\infty }\,b_{n}=a$. Weiters gilt für die Folge $\langle c\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ mit $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ für fast alle (= alle, bis auf endlich viele) $n\in \mathbb {N}$ $\implies$ Dann folgt die Konvergenz von $c_{n}$ und es gilt $\lim _{n\to +\infty }c_{n}=a$.

Für unsere Folge bedeutet das Theorem, dass wir zwei Folgen benötigen, welche die Folge $\langle a_{n}\rangle$ einschließen, von denen die Konvergenz bekannt ist und deren Grenzwerte zusätzlich gleich sein müssen.

Wir zeigen zuerst, dass wir eine obere Schranke durch die Folge $d_{n}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$ bereits haben.

$\forall \;n\geq 1\in \mathbb {N} ,\,\colon \;\left\vert \,a_{n}\,\right\vert =\left\vert \,{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\,\right\vert ={\frac {\left\vert \,\sin(n)\,\right\vert }{\sqrt[{4}]{n}}}\leq {\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}},\quad$ mit $\quad \lim _{n\to \infty }\,d_{n}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$.

Für die untere Schranke bilden wir die negative Folge von $d_{n}\colon \;\langle e\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ mit $e_{n}=-d_{n}=-{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$. Die Folge konvertiert wieder gegen den Grenzwert $0$.

Wir haben oben bereits gezeigt, dass ${\frac {\left\vert \,\sin(n)\,\right\vert }{\sqrt[{4}]{n}}}\leq {\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$ gilt. Im negativen Bereich haben wir die umgekehrte Eigenschaft: $-{\frac {\left\vert \,\sin(n)\,\right\vert }{\sqrt[{4}]{n}}}\geq -{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$.

Damit gilt für unsere Folge $\langle a_{n}\rangle \colon \;e_{n}=-{\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}\leq a_{n}={\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}\leq d_{n}={\frac {1}{\sqrt[{4}]{n}}}$ mit den Grenzwerten:

$\lim _{n\to +infty}\,e_{n}=\lim _{n\to +infty}\,d_{n}=0$. Nach dem Sandwich-Theorem folgt nun $\implies \lim _{n\to +infty}\,a_{n}=0$.

$\implies$ Die Folge $\langle a_{n}\rangle$ konvergiert gegen den Grenzwert $0$.

Wir geben noch zu einem beliebigen $\varepsilon >0$ die Schranke $N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$ an.

• Wir haben oben bereits im Beweis gezeigt, dass $d_{n}$ gegen den Grenzwert $0$ konvergiert. Dabei haben wir die Abschätzung für $N(\varepsilon )=\lfloor \,{\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}\,\rfloor <n$ gezeigt. Dabei ist $N(\varepsilon )\in \mathbb {N}$. Wir verwenden hier die Auswahl der Folgenglieder mit dem Kleinerzeichen $N(\varepsilon )<n$. Daher können wir im Ausdruck für $N(\varepsilon )=\lfloor \,{\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}\,\rfloor$ abrunden.

• Die angegebene Folge $a_{n}$ konvertiert gegen den Grenzwert:

$\lim _{n\to \infty }\,a_{n}=\lim _{n\to \infty }\,{\frac {\sin(n)}{\sqrt[{4}]{n}}}=0$.

Gesamtergebnis: $a=0$ und $N(\varepsilon )=\lfloor {\frac {1}{\varepsilon ^{4}}}\rfloor$. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Monotone Zahlenfolge
• Häufungspunkt
• Grenzwert
• Infimum und Supremum
• Vollständige Induktion

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