TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 216

Berechnen Sie

$\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k(n-k)$

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

$\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n\left(n+1\right)}{2}}$

$\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}$

Lösungsvorschlag

${\frac {1}{n^{3}}}\sum _{k=1}^{n}k(n-k)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {k}{n}}(1-{\frac {k}{n}})$

das ist genau die Riemannsumme wenn man folgendes Integral mit äquidistanten Intervallbreiten und Zwischenstelle am rechten Intervallrand berechnet:
$\int \limits _{0}^{1}x(1-x)dx$ das kann man partiell integrieren und sollte dann bei 1/6 als Lösung landen

Lösungsvorschlag (ohne Riemannscher Zwischensummen)

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