TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 216

Berechnen Sie

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^{n}k(n-k)$

durch Interpretation als Grenzwert Riemannscher Zwischensummen.

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{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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}}

Hilfreiches

$\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Lösungsvorschlag

$\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^{n}k(n-k)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{k}{n}(1-\frac{k}{n})$

das ist genau die Riemannsumme wenn man folgendes Integral mit äquidistanten Intervallbreiten und Zwischenstelle am rechten Intervallrand berechnet:
$\underset{0}{\overset{1}{\int }}x(1-x)dx$ das kann man partiell integrieren und sollte dann bei 1/6 als Lösung landen

Lösungsvorschlag (ohne Riemannscher Zwischensummen)

$\begin{array}{cc}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^{n}k(n-k)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n(k\cdot n-k^2)\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^{n}k\cdot n-\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}\sum _{k=1}^{n}k-\frac{1}{n^3}\sum _{k=1}^n{k}^2\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n^2}\cdot \frac{n(n+1)}{2}-\frac{1}{n^3}\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n(n+1)}{2n^2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n(n+1)}{6n^2}-\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+3n-(2n^2+2n+n+1)}{6n^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2-1}{6n^2}\\ & =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{6}-\frac{1}{6n^2}\\ & =\frac{1}{6}\end{array}$

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