TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 55

Sei die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ rekursiv gegeben durch $a_0=0$ und $a_{n+1}=a_n+\frac{n}{(n+1)!}(n\ge 0)$.

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion): $a_n=1-\frac{1}{n!}$ und bestimme den Grenzwert.

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Hilfreiches von Har203

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls $\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:36, 16. Mär. 2026 (CET)

Sei die Folge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ rekursiv gegeben durch $a_0=0$ und $a_{n+1}=a_n+\frac{n}{(n+1)!}(n\ge 0)$.

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion): $a_n=1-\frac{1}{n!}$ und bestimme den Grenzwert.

Wohldefiniert

Die Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ ist für alle Folgenglieder definiert.

Folge

Schauen wir uns die ersten Folgenglieder von $⟨a_n{⟩}_{\ge 1}:a_0=0$ und $a_{n+1}=a_n+\frac{n}{(n+1)!}$.

$\begin{array}{cc}& a_0=0=1-\frac{1}{0!}=1-1/1=0\\ & a_1=0+\frac{0}{(0+1)!}=0/(1!)=1-\frac{1}{1!}=1-1/1=0\\ & a_2=0+\frac{0}{(0+1)!}+\frac{1}{(1+1)!}=0/(1!)+1/(2!)=1-\frac{1}{2!}=1-1/2=1/2\\ & a_3=0+\frac{0}{(0+1)!}+\frac{1}{(1+1)!}+\frac{2}{(2+1)!}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)=3/6+2/6=5/6=1-\frac{1}{3!}=1-1/6=5/6\\ & a_4=0+\frac{0}{(0+1)!}+\frac{1}{(1+1)!}+\frac{2}{(2+1)!}+\frac{3}{(3+1)!}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)=23/24=1-\frac{1}{4!}=1-1/24=23/24\\ & a_n=0+\frac{0}{(0+1)!}+\frac{1}{(1+1)!}+\dots +\frac{n-1}{((n-1)+1)!}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+\dots +(n-1)/(n!)=1-\frac{1}{n!}\\ & a_{n+1}=0+\frac{0}{(0+1)!}+\frac{1}{(1+1)!}+\dots +\frac{n}{(n+1)!}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+\dots +(n)/((n+1)!)=1-\frac{1}{(n+1)!}\\ & a_{n+1}=\sum _{i=0}^n\frac{i}{(i+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}\end{array}$

Beweis der expliziten Darstellung

Zu zeigen ist $a_n=1-\frac{1}{n!}$.

Induktionsanfang

Wir zeigen zuerst, dass die Induktionsbehauptung $a_n=1-\frac{1}{n!}$ für die ersten Folgenglieder gilt.

$\begin{array}{ccc}& a_0=0=1-\frac{1}{0!}& =1-\frac{1}{1}=0\surd \\ & a_1=0+\frac{0}{(1)!}=0/1=0& =1-\frac{1}{1!}=0\surd \\ & a_2=0+\frac{1}{2!}=1/(2!)=1/2& =1-\frac{1}{2!}=1/2\surd \\ & a_3=1/2+\frac{2}{3!}=5/6& =1-\frac{1}{3!}=1-1/6=5/6\surd \\ \end{array}$

Induktionsbehauptung

Für die Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ gilt die explizite Darstellung$:a_n=1-\frac{1}{n!}$.

Die Induktionsbehauptung gilt für $n=0$. Diesen Wert werden wir auch als Startwert der Induktion hernehmen.

Induktionsschritt

Sei nun die Induktionsannahme für ein festes $n$ gültig. Wir werden zeigen, dass die Behauptung infolge dieser Aussage auch die Gültigkeit für den Fall $n+1$ bedeutet.

Sei der Ausdruck $a_n=1-\frac{1}{n!}$ für ein festes $n\in \mathbb{N}$ gültig. Die Folge $⟨a_n⟩$ ändert sich laut rekursiver Definition um den Summanden $a_{n+1}=a_n+\frac{n}{(n+1)!}$.

D.h., dass $a_{n+1}=1-\frac{1}{n!}+\frac{n}{(n+1)!}=1-\frac{n+1}{(n+1)!}+\frac{n}{(n+1)!}=1+\frac{-n-1+n}{(n+1)!}=1-\frac{1}{(n+1)!}$.

$⟹$ Damit gilt für die Folge $⟨a_n⟩$ für alle $n\ge 0,n\in \mathbb{N}:a_n=1-\frac{1}{n!}$.

Grenzwert

$⟹$ Der Gremzwert der Folge $⟨a_n⟩$ ist:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}1-\frac{1}{n!}=1$. $◼$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Grenzwert
• Vollständige Induktion

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