TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 55

Sei die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv gegeben durch $a_{0}=0$ und $a_{n+1}=a_{n}+{\frac {n}{(n+1)!}}\quad (n\geq 0)$.

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion): $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ und bestimme den Grenzwert.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches von Har203

Vollständige Induktion

Vollständige Induktion

1. Induktionsanfang (IA)
2. Induktionsschritt (IS): Induktionsvoraussetzung (IV) $\Rightarrow$ Induktionsbehauptung (IB)

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$, falls in jeder $\epsilon$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls $\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$   (Definition 4.4)

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 23:36, 16. Mär. 2026 (CET)

Sei die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ rekursiv gegeben durch $a_{0}=0$ und $a_{n+1}=a_{n}+{\frac {n}{(n+1)!}}\quad (n\geq 0)$.

Man zeige (mit Hilfe vollständiger Induktion): $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ und bestimme den Grenzwert.

Wohldefiniert

Die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ ist für alle Folgenglieder definiert.

Folge

Schauen wir uns die ersten Folgenglieder von $\langle a_{n}\rangle _{\geq 1}\colon \;a_{0}=0\,$ und $\,a_{n+1}=a_{n}+{\frac {n}{(n+1)!}}$.

${\begin{alignedat}{1}&a_{0}=0=1-{\frac {1}{0!}}=1-1/1=0\\&a_{1}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}=0/(1!)=1-{\frac {1}{1!}}=1-1/1=0\\&a_{2}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)=1-{\frac {1}{2!}}=1-1/2=1/2\\&a_{3}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}+{\frac {2}{(2+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)=3/6+2/6=5/6=1-{\frac {1}{3!}}=1-1/6=5/6\\&a_{4}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}+{\frac {2}{(2+1)!}}+{\frac {3}{(3+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)=23/24=1-{\frac {1}{4!}}=1-1/24=23/24\\&a_{n}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}+\ldots +{\frac {n-1}{((n-1)+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+\ldots +(n-1)/(n!)=1-{\frac {1}{n!}}\\&a_{n+1}=0+{\frac {0}{(0+1)!}}+{\frac {1}{(1+1)!}}+\ldots +{\frac {n}{(n+1)!}}=0/(1!)+1/(2!)+2/(3!)+3/(4!)+\ldots +(n)/((n+1)!)=1-{\frac {1}{(n+1)!}}\\&a_{n+1}=\sum _{i=0}^{n}\,{\frac {i}{(i+1)!}}={\color {green}1-{\frac {1}{(n+1)!}}}\end{alignedat}}$

Beweis der expliziten Darstellung

Zu zeigen ist $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$.

Induktionsanfang

Wir zeigen zuerst, dass die Induktionsbehauptung $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ für die ersten Folgenglieder gilt.

${\begin{alignedat}{1}&a_{0}=0=1-{\frac {1}{0!}}\,&=\,1-{\frac {1}{1}}=0\quad {\color {green}\surd }\\&a_{1}=0+{\frac {0}{(1)!}}=0/1=0\,&=\,1-{\frac {1}{1!}}=0\quad {\color {green}\surd }\\&a_{2}=0+{\frac {1}{2!}}=1/(2!)=1/2\;&=\,1-{\frac {1}{2!}}=1/2\quad {\color {green}\surd }\\&a_{3}=1/2+{\frac {2}{3!}}=5/6\,&=\,1-{\frac {1}{3!}}=1-1/6=5/6\quad {\color {green}\surd }\\\end{alignedat}}$

Induktionsbehauptung

Für die Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ gilt die explizite Darstellung$\colon \;a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}\,$.

Die Induktionsbehauptung gilt für $n=0$. Diesen Wert werden wir auch als Startwert der Induktion hernehmen.

Induktionsschritt

Sei nun die Induktionsannahme für ein festes $n$ gültig. Wir werden zeigen, dass die Behauptung infolge dieser Aussage auch die Gültigkeit für den Fall $\,n+1\,$ bedeutet.

Sei der Ausdruck $a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$ für ein festes $n\in \mathbb {N}$ gültig. Die Folge $\langle a_{n}\rangle$ ändert sich laut rekursiver Definition um den Summanden $a_{n+1}=a_{n}+{\color {green}{\frac {n}{(n+1)!}}}$.

D.h., dass $a_{n+1}=1-{\frac {1}{n!}}+{\color {green}{\frac {n}{(n+1)!}}}=1-{\frac {n+1}{(n+1)!}}+{\frac {n}{(n+1)!}}=1+{\frac {-n-1+n}{(n+1)!}}=1-{\frac {1}{(n+1)!}}$.

$\implies$ Damit gilt für die Folge $\langle a_{n}\rangle$ für alle $n\geq 0,n\in \mathbb {N} \colon \;a_{n}=1-{\frac {1}{n!}}$.

Grenzwert

$\implies$ Der Gremzwert der Folge $\langle a_{n}\rangle$ ist:

$\lim _{n\to \infty }\,1-{\frac {1}{n!}}=1$. $\quad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Folge
• Grenzwert
• Vollständige Induktion

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 54
• TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 56