TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2026S/Beispiel 58

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ und $\liminf _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ :
$a_{n}={\frac {n^{2}\cdot \cos \left({\frac {n\cdot \pi }{2}}\right)+1}{n+1}}+\sin \left({\frac {(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}}\right)$ .

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ , falls in jeder $\epsilon$ -Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_{n}$ liegen, d.h., falls

$\forall \,\epsilon >0\quad \exists \,N(\epsilon )\in \mathbb {N} \quad \forall \,n>N(\epsilon ):|a_{n}-a|<\epsilon$ (Definition 4.4)

Häufungspunkt einer Folge

Ein Punkt $p$ heißt Häufungspunkt oder Häufungswert einer Folge von Punkten, falls in jeder noch so kleinen Umgebung] des Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen.

[*]Hauptseite Häufungspunkt

Limes inferior / superior

Folgen reeller Zahlen
Sei $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge reeller_Zahlen. Dann ist der Limes inferior von $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert als

\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=\sup _{n\in \mathbb {N} }\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\inf\{x_{k}:k\geq n\}:n\in \mathbb {N} \}.

Analog ist der Limes superior von $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert als

\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}:=\inf _{n\in \mathbb {N} }\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\inf\{\sup\{x_{k}:k\geq n\}:n\in \mathbb {N} \}.

Dabei stehen $\inf$ und $\sup$ für Infimum_und_Supremum.

Äquivalent ist die folgende Definition:

{\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }x_{n}&:=\lim _{n\to \infty }(\sup\{x_{k}:k\geq n\}),\\\liminf _{n\to \infty }x_{n}&:=\lim _{n\to \infty }(\inf\{x_{k}:k\geq n\}).\end{aligned}}

Die Grenzwerte existieren, da monotone Folgen in den erweiterten reellen Zahlen konvergent sind.
[*] Hauptartikel Limes superior und Limes inferior

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203

Man bestimme alle Häufungspunkte, sowie $\limsup _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ und $\liminf _{n\rightarrow \infty }a_{n}$ der Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ :

Wohldefiniert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Nenner der Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\in \mathbb {N} }$ ist mit $n+1,n\geq 0,\,n\in \mathbb {N}$ für alle Folgenglieder definiert. Weiters ist der $\sim ()$ und $\cos \left(\right)$ überall definiert. Daher ist diese Folge für alle Folgenglieder definiert.

Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$a_{n}={\frac {n^{2}\cdot \cos \left({\frac {n\cdot \pi }{2}}\right)+1}{n+1}}+\sin \left({\frac {(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}}\right)$ .

Wir werden diese Folge vorab in zwei Teile zerteilen und beide separat betrachten:

$g(n)={\frac {n^{2}\cdot \cos \left({\frac {n\cdot \pi }{2}}\right)+1}{n+1}}={\frac {n^{2}\cdot \cos \left(n\cdot {\frac {\pi }{2}}\right)+1}{n+1}}={\frac {n^{2}\cdot r_{n}+1}{n+1}}={\frac {n\cdot r_{n}+{\frac {1}{n}}}{1+{\frac {1}{n}}}}$

Für den Ausdruck $\cos \left(n\cdot {\frac {\pi }{2}}\right)$ bilden wir eine Folge $\langle r_{n}\rangle _{n\geq 0}$ mit $s\in \mathbb {N} _{0}\colon \,$

r_{n}={\begin{cases}n{\bmod {4}}\equiv 0\colon \,\quad &r_{n}=1\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=n^{2}\quad &\to {\text{ die Werte wiederholen sich nicht}}\quad &{\text{Wertemenge}}\colon \,\bigcup _{s=0}^{\infty }\,\{\,(4\cdot s)^{2}\,\}\\n{\bmod {4}}\equiv 1\colon \,\quad &r_{n}=0\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=0\quad &\to {\text{ der Wert }}0{\text{ wiederholt sich}}\quad &{\text{Wertemenge}}\colon \,\bigcup _{s=0}^{\infty }\,\{\,0\cdot (2\cdot s+1)\,\}\\n{\bmod {4}}\equiv 2\colon \,\quad &r_{n}=-1\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=-n^{2}\quad &\to {\text{ die Werte wiederholen sich nicht}}\quad &{\text{Wertemenge}}\colon \,\bigcup _{s=0}^{\infty }\,\{\,-((4\cdot s+2)^{2})\,\}\\n{\bmod {4}}\equiv 3\colon \,\quad &r_{n}=0\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=0\quad &\to {\text{ der Wert }}0{\text{ wiederholt sich}}\quad &{\text{Wertemenge}}\colon \,\bigcup _{s=0}^{\infty }\,\{\,0\cdot (2\cdot s+1)\,\}\\{\text{Periode}}\colon \;n=4,\,&n\in \mathbb {N} \end{cases}}

Die Teilfolge

n=4\cdot k

divergiert gegen

+\infty \colon \;g(4\cdot k)\to +\infty \implies {\color {green}\limsup _{n\to \infty }\,g(n)=+\infty },\,k\in \mathbb {N} _{0}

.

Die Teilfolge

n=4\cdot k+2

divergiert gegen

-\infty \colon \;g(4\cdot k+2)\to -\infty \implies {\color {green}\liminf _{n\to \infty }\,g(n)=-\infty },\,k\in \mathbb {N} _{0}

.

Für den Ausdruck $g(n)$ erhalten wir $\colon \,$

g(n)\colon \;{\begin{cases}n{\bmod {4}}\equiv 0\colon \,\quad &r_{n}=1\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=n^{2}\quad &g(n)={\frac {n^{2}+1}{1+n}}\quad &{\text{kein Häufungspunkt: divergiert gegen }}+\infty .\\n{\bmod {4}}\equiv 1\colon \,\quad &r_{n}=0\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=0\quad &g(n)={\frac {1}{1+n}}\quad &{\text{Häufungspunkt }}0.\\n{\bmod {4}}\equiv 2\colon \,\quad &r_{n}=-1\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=-n^{2}\quad &g(n)={\frac {-n^{2}+1}{1+n}}\quad &{\text{kein Häufungspunkt: divergiert gegen }}-\infty .\\n{\bmod {4}}\equiv 3\colon \,\quad &r_{n}=0\qquad &n^{2}\cdot r_{n}=0\quad &g(n)={\frac {1}{1+n}}\quad &{\text{Häufungspunkt }}0.\\{\text{Periode}}\colon \;n=4,\,&n\in \mathbb {N} \end{cases}}

Häufungspunkt von $g(n)=\{\,0\,\}$

$h(n)=\sin \left({\frac {(2\cdot n+1)\cdot \pi }{2}}\right)=\sin \left({\frac {2\cdot n\cdot \pi }{2}}+{\frac {\pi }{2}}\right)=\sin \left((n\cdot \pi )+{\frac {\pi }{2}}\right)$ .

Für den Ausdruck $\sin \left((n\cdot \pi )+{\frac {\pi }{2}}\right)$ bilden wir eine Folge $\langle t_{n}\rangle _{n\geq 0}$ mit $\colon \,$
$\sin \left(n\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\colon \;{\begin{cases}n{\bmod {4}}\equiv 0\colon \,\quad &t_{n}=1\quad &{\text{Häufungspunkt }}1.\\n{\bmod {4}}\equiv 1\colon \,\quad &t_{n}=-1\quad &{\text{Häufungspunkt }}-1.\\n{\bmod {4}}\equiv 2\colon \,\quad &t_{n}=1\quad &{\text{Häufungspunkt }}1.\\n{\bmod {4}}\equiv 3\colon \,\quad &t_{n}=-1\quad &{\text{Häufungspunkt }}-1.\\{\text{Periode}}\colon \;n=4,\,&n\in \mathbb {N} .\\\end{cases}}$

\implies {\color {green}h(n)=\sin \left(n\cdot \pi +{\frac {\pi }{2}}\right)\,=\,(-1)^{n}}

Häufungspunkt von $h(n)=\{\,-1,\,+1\}$

Zusammengesetzt: $a_{n}=g(n)+h(n)=g(n)+(-1)^{n}$

Für den Ausdruck $a_{n}=g(n)+h(n)$ erhalten wir $\colon \,$
$a_{n}\colon \;{\begin{cases}n{\bmod {4}}\equiv 0\colon \,\quad &a_{n}={\frac {n^{2}+1}{1+n}}+1\quad &{\text{kein Häufungspunkt }}\to +\infty .\\n{\bmod {4}}\equiv 1\colon \,\quad &a_{n}={\frac {1}{1+n}}-1\quad &{\text{Häufungspunkt }}-1.\\n{\bmod {4}}\equiv 2\colon \,\quad &a_{n}={\frac {-n^{2}+1}{1+n}}+1\quad &{\text{kein Häufungspunkt }}\to -\infty .\\n{\bmod {4}}\equiv 3\colon \,\quad &a_{n}={\frac {1}{1+n}}-1\quad &{\text{Häufungspunkt }}-1.\\{\text{Periode}}\colon \;n=4,\,n\in \mathbb {N} \end{cases}}$

Häufungspunkt von $a_{n}=\{\,-1\,\}$

$\implies$ Das heißt diese Folge $\langle a_{n}\rangle _{n\geq 0}$ hat einen Häufungspunkt und dieser ist $\{\,-1\,\}$ .

Der Limes superior ist $\limsup _{n\rightarrow \infty }\,a_{n}=+\infty$ und der Limes inferior ist $\liminf _{n\rightarrow \infty }\,a_{n}=-\infty$ . $\quad \qquad \blacksquare$