TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 18

Man zeige, dass durch $aRb\iff 6|a^2-b^2\mathrm{\forall }a,b\in \mathbb{Z}$ eine Äquivalenzrelation R in der Menge $\mathbb{Z}$ erklärt wird, und bestimme die zugehörende Partition.

Hilfreiches

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\mathrm{\forall }a\in A:aRa$,

Symmetrie: $\mathrm{\forall }a,b\in A:aRb\Rightarrow bRa$,

Transitivität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Lösungsvorschlag

Reflexivität

$aRa\iff 6|a^2-a^2=6|0$ (wahre Aussage)

Symmetrie

$aRb\Rightarrow bRa$

$6|a^2-b^2\Rightarrow 6|b^2-a^2$

Sei $x=a^2-b^2$, dann ist $-x=b^2-a^2$.

Wenn 6 x teilt, dann teilt 6 auch -x, daher wahre Aussage.

Transitivität

$(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$

$(6|a^2-b^2\wedge 6|b^2-c^2)\Rightarrow 6|a^2-c^2$

Sei $x=a^2-b^2$ und $y=b^2-c^2$, dann ist $z=x+y=a^2-b^2+b^2-c^2=a^2-c^2$.

Aufgrund von $6|x$ und $6|y$ geht auch $6|z$ in eine wahre Aussage über.

Partition

Äquivalenzklasse 0

$aR0\iff 6|a^2-0^2=6|a^2$

Daraus folgt, dass jede Zahl die zu 0 in Relation steht durch 6 teilbar sein muss:

$K(0)=\{k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}=\{\dots ,-18,-12,-6,0,+6,+12,+18,\dots \}$

Äquivalenzklasse 1

$aR1\iff 6|a^2-1^2=6|(a+1)\cdot (a-1)$

Daraus folgt, dass entweder $a+1$ oder $a-1$ durch 6 teilbar sein muss:

$K(1)=\{1+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}\cup \{-1+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}=\{\pm 1+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}=\{\dots ,-19,-17,-13,-11,-7,-5,-1,+1,+5,+7,+11,+13,+17,+19,\dots \}$

Äquivalenzklasse 2

$aR2\iff 6|a^2-2^2=6|(a+2)\cdot (a-2)$

Daraus folgt, dass entweder $a+2$ oder $a-2$ durch 6 teilbar sein muss:

$K(2)=\{2+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}\cup \{-2+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}=\{\pm 2+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}=\{\dots ,-20,-16,-14,-10,-8,-4,-2,+2,+4,+8,+10,+14,+16,+20,\dots \}$

Äquivalenzklasse 3

$aR3\iff 6|a^2-3^2=6|(a+3)\cdot (a-3)$

Daraus folgt, dass entweder $a+3$ oder $a-3$ durch 6 teilbar sein muss:

$K(3)=\{3+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}\cup \{-3+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}=\{\pm 3+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}=\{3+k\cdot 6|k\in \mathbb{Z}\}=\{\dots ,-21,-15,-9,-3,+3,+9,+15,+21,\dots \}$

$K(0)\cup K(1)\cup K(2)\cup K(3)=\mathbb{Z}$

Partition (Alternative)

$6|a^2-b^2$ entspricht $a^2\equiv b^{2}mod6$

$x$	$x^2$	$xmod6$	$x^{2}mod6$
0	0	0	0
1	1	1	1
2	4	2	4
3	9	3	3
4	16	4	4
5	25	5	1

Man sieht dass die Restklassen von 1 und 5 bzw. 2 und 4 zusammenfallen.

Links zu anderen Lösungen des gleichen Beispiels

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 100

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 91 (ähnliches Beispiel)