TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 18

Man zeige, dass durch $aRb\Leftrightarrow 6|a^{2}-b^{2}\forall a,b\in \mathbb {Z}$ eine Äquivalenzrelation R in der Menge $\mathbb {Z}$ erklärt wird, und bestimme die zugehörende Partition.

Hilfreiches

Äquivalenzrelation

Äquivalenzrelation

Eine binäre Relation R auf einer Menge A heißt Äquivalenzrelation, wenn folgende drei Eigenschaften erfüllt sind:

Reflexivität: $\forall a\,\in A:aRa$,

Symmetrie: $\forall a,b\,\in A:aRb\Rightarrow bRa$,

Transitivität: $\forall a,b,c\,\in A:(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$.

Lösungsvorschlag

Reflexivität

$aRa\Leftrightarrow 6|a^{2}-a^{2}=6|0$ (wahre Aussage)

Symmetrie

$aRb\Rightarrow bRa$

$6|a^{2}-b^{2}\Rightarrow 6|b^{2}-a^{2}$

Sei $x=a^{2}-b^{2}$, dann ist $-x=b^{2}-a^{2}$.

Wenn 6 x teilt, dann teilt 6 auch -x, daher wahre Aussage.

Transitivität

$(aRb\wedge bRc)\Rightarrow aRc$

$(6|a^{2}-b^{2}\wedge 6|b^{2}-c^{2})\Rightarrow 6|a^{2}-c^{2}$

Sei $x=a^{2}-b^{2}$ und $y=b^{2}-c^{2}$, dann ist $z=x+y=a^{2}-b^{2}+b^{2}-c^{2}=a^{2}-c^{2}$.

Aufgrund von $6|x$ und $6|y$ geht auch $6|z$ in eine wahre Aussage über.

Partition

Äquivalenzklasse 0

$aR0\Leftrightarrow 6|a^{2}-0^{2}=6|a^{2}$

Daraus folgt, dass jede Zahl die zu 0 in Relation steht durch 6 teilbar sein muss:

$K(0)=\{k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-18,-12,-6,0,+6,+12,+18,\ldots \}$

Äquivalenzklasse 1

$aR1\Leftrightarrow 6|a^{2}-1^{2}=6|(a+1)\cdot (a-1)$

Daraus folgt, dass entweder $a+1$ oder $a-1$ durch 6 teilbar sein muss:

$K(1)=\{1+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}\cup \{-1+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}=\{\pm 1+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-19,-17,-13,-11,-7,-5,-1,+1,+5,+7,+11,+13,+17,+19,\ldots \}$

Äquivalenzklasse 2

$aR2\Leftrightarrow 6|a^{2}-2^{2}=6|(a+2)\cdot (a-2)$

Daraus folgt, dass entweder $a+2$ oder $a-2$ durch 6 teilbar sein muss:

$K(2)=\{2+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}\cup \{-2+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}=\{\pm 2+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-20,-16,-14,-10,-8,-4,-2,+2,+4,+8,+10,+14,+16,+20,\ldots \}$

Äquivalenzklasse 3

$aR3\Leftrightarrow 6|a^{2}-3^{2}=6|(a+3)\cdot (a-3)$

Daraus folgt, dass entweder $a+3$ oder $a-3$ durch 6 teilbar sein muss:

$K(3)=\{3+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}\cup \{-3+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}=\{\pm 3+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}=\{3+k\cdot 6|k\in \mathbb {Z} \}=\{\ldots ,-21,-15,-9,-3,+3,+9,+15,+21,\ldots \}$

$K(0)\cup K(1)\cup K(2)\cup K(3)=\mathbb {Z}$

Partition (Alternative)

$6|a^{2}-b^{2}$ entspricht $a^{2}\equiv b^{2}\mod {6}$

$x$	$x^{2}$	$x\mod {6}$	$x^{2}\mod {6}$
0	0	0	0
1	1	1	1
2	4	2	4
3	9	3	3
4	16	4	4
5	25	5	1

Man sieht dass die Restklassen von 1 und 5 bzw. 2 und 4 zusammenfallen.

Links zu anderen Lösungen des gleichen Beispiels

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 100

Links

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 91 (ähnliches Beispiel)