TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 273

Man bestimme die "primen" Restklassen modulo 18, d.h. alle Restklassen $\bar{a}$ mit ggT(a, 18)=1. Man zeige, daß die Menge ${\Gamma }_{18}$ dieser primen Restklassen bezüglich der Restklassenmultiplikation eine Gruppe bildet.

Hilfreiches

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Lösungsvorschlag Hapi

${\Gamma }_{18}$= {1,5,7,11,13,17}

(Anmerkung: 2 und 3 teilen 2,4,6,8,10,12,14 und 16!)

Operationstafel:

$\begin{array}{ccccccc}\ast & 1& 5& 7& 11& 13& 17\\ 1& 1& 5& 7& 11& 13& 17\\ 5& 5& 7& 17& 1& 11& 13\\ 7& 7& 17& 13& 5& 1& 11\\ 11& 11& 1& 5& 13& 17& 7\\ 13& 13& 11& 1& 17& 7& 5\\ 17& 17& 13& 11& 7& 5& 1\end{array}$

Hieraus kann man ablesen:

• Die Operation ist abgeschlossen
• $\mathrm{\exists }$ neutrales Element ("1")
• $\mathrm{\forall }$ Elemente $\mathrm{\exists }$ inverses Element (in allen Zeilen/Spalten kommt "1" vor)

Da ${\Gamma }_{18}<\mathbb{Z}$ und Assoziativität schon in $\mathbb{Z}$ gegeben ist, auch in ${\Gamma }_{18}$.

Alle Gruppenbedingungen sind erfüllt.

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