TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 333

Man untersuche die Folge $⟨a_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}$ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

$a_n=\frac{2n^2-5n^{\frac{9}{4}}+7}{7n^3+2n^{-\frac{3}{2}}+1}$

Hilfreiches

Grenzwert

Eine reelle Zahl $a$ heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge $(a_n{)}_{n\ge 0}$, falls in jeder $ϵ$-Umgebung von $a$ fast alle Folgenglieder $a_n$ liegen, d.h., falls

$\mathrm{\forall }ϵ>0\mathrm{\exists }N(ϵ)\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }n>N(ϵ):|a_n-a|<ϵ$   (Definition 4.4)

Quotientenkriterium

Wenn $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q<1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ absolut konvergent.

Falls hingegen $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\ge 1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ divergent.   (Satz 4.52)

Cauchykriterium

$⟨x_n{⟩}_{n\in \mathbb{N}}:\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N(\epsilon )\mathrm{\forall }n,m\ge N(\epsilon ):|x_n-x_m|<\epsilon$.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in $ℝ$).

Lösung von Baccus

Konvergenzverhalten

Die höchste Potenz im Zähler ist $n^{\frac{9}{4}}$, die höchste Potenz im Nenner ist $n^3$: $\Rightarrow \left|n^{\frac{9}{4}}\right|<\left|n^3\right|\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.

Der Nenner schwindet also schneller als der Zähler $\Rightarrow \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|<1$ $\underset{kriterium}{\overset{Quotienten-}{\to }}$ $⟨a_n⟩$ ist konvergent.

Grenzwert

Wir ziehen aus der gesamten Gleichung das Nenner-Element mit der höxten Potenz ($n^3$) einfach brutal heraus:

$⟨a_n⟩=\frac{2n^2-5n^{\frac{9}{4}}+7}{7n^3+2n^{-\frac{3}{2}}+1}=$ $n^3\cdot \frac{\frac{2n^2}{n^3}-\frac{5n^{\frac{9}{4}}}{n^3}+\frac{7}{n^3}}{\frac{7n^3}{n^3}+\frac{2n^{-\frac{3}{2}}}{n^3}+\frac{1}{n^3}}=$ $n^3\cdot \frac{\stackrel{\to 0}{\overbrace{\frac{2}{n}}}-\stackrel{\to 0}{\overbrace{\frac{5}{n^{\frac{3}{4}}}}}+\stackrel{\to 0}{\overbrace{\frac{7}{n^3}}}}{\underset{\to 7}{\underbrace{7}}+\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{2}{n^{\frac{9}{2}}}}}+\underset{\to 0}{\underbrace{\frac{1}{n^3}}}}$ $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\overset{lim}{\to }}{n}^3\cdot \underset{=0}{\underbrace{\frac{0-0+0}{7+0+0}}=0}$

Dieser Trick funktioniert auch bei ähnlichen Beispielen :-).

--Baccus 04:16, 23. Jan 2007 (CET)

Lösungsversuch von Hapi (korrigiert)

Zunächst sollte man die Folge etwas näher untersuchen und abschätzen.

Der Zähler entspricht dem Wert ($n^2\ast (2-5\ast \sqrt[4]{n})+7$ ), n² und $\sqrt[4]{n}$ konvergieren gegen -$\mathrm{\infty }$

Der Nenner ist der Wert 7*n³ + 2/$\sqrt[\frac{3}{2}]{n}$ +1, wobei n³ und 1/$\sqrt[\frac{3}{2}]{n}$ ebenfalls gegen $\mathrm{\infty }$ konvergieren

$\frac{-\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}$ ist aber ein unbestimmter Ausdruck, man muß daher andere Methoden anwenden, um die Konvergenz der Reihe zu beweisen. Eine derartige Möglichkeit wäre z.B. das Qotientenkriterium ob an /an+1 < 1 ist oder ob in einer hinlänglich kleinen Epsilon Umgebung an > an+1, damit die Folge konvergiert (Cauchy-Kriterium). d.h an = 1/q > an+1 = 1/q+1

Da n² < n³ ist und auch $\frac{n^2\sqrt[4]{n}}{n^3}$ kleiner n³ ist, wäre somit Konvergenz gegeben.

Der Limes berechnet sich wie folgt:

(Man dividert den Zäher durch $n^2\ast \sqrt[4]{n}$ und den Nenner durch $n^3$ (um die n aus den Zählern zu kriegen!))

Leider nicht richtig, habe bei Baron nachgeschlagen, Baccus hat da besser aufgepaßt. Man muß alles durch die insgesamt größte Potenz (hier $n^3$) dividieren, auch wenn die Potenzen in Zähler und Nenner ungleich sind. Für Puristen formal richtiger die Brüche nicht dividieren sondern den Bruch mit jeweils $\frac{1}{n^3}$ erweitern. Danke für den Hinweis, Baccus!

  $\frac{\frac{2}{n}-\frac{5}{\sqrt[4]{n^3}}+\frac{7}{n^3}}{7+\frac{2}{n^3\ast \sqrt[\frac{2}{3}]{n}}+\frac{1}{n^3}}=\frac{\frac{2}{\mathrm{\infty }}-\frac{5}{\mathrm{\infty }}+\frac{7}{\mathrm{\infty }}}{7+\frac{2}{\mathrm{\infty }}+\frac{1}{\mathrm{\infty }}}=\frac{0-0+0}{7+0+0}=\frac{0}{7}$   

da jeder Wert /$\mathrm{\infty }$ den Limes 0 hat.

Lösung Übungsstunde Urbanek:

Da größere Potenz im Zähler steht, konvergiert die Reihe. Einfach Gleichung mit 1/n³ in Zähler und Nenner erweitert, dann Limes berechnet wie oben, Ergebnis 0/7 = 0

Hapi

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