TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 333

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Man untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grenzwert

Eine reelle Zahl heißt Grenzwert (oder Limes) der Folge , falls in jeder -Umgebung von fast alle Folgenglieder liegen, d.h., falls

  (Definition 4.4)

Quotientenkriterium

Wenn , dann ist absolut konvergent.

Falls hingegen , dann ist divergent.   (Satz 4.52)

Cauchykriterium

.   (Definition 4.28)

Eine Cauchy-Folge ist stets konvergent (in ).

Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konvergenzverhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die höchste Potenz im Zähler ist , die höchste Potenz im Nenner ist : .

Der Nenner schwindet also schneller als der Zähler ist konvergent.


Grenzwert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir ziehen aus der gesamten Gleichung das Nenner-Element mit der höxten Potenz () einfach brutal heraus:

Dieser Trick funktioniert auch bei ähnlichen Beispielen :-).

--Baccus 04:16, 23. Jan 2007 (CET)


Lösungsversuch von Hapi (korrigiert)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zunächst sollte man die Folge etwas näher untersuchen und abschätzen.

Der Zähler entspricht dem Wert ( ), n² und konvergieren gegen -

Der Nenner ist der Wert 7*n³ + 2/ +1, wobei n³ und 1/ ebenfalls gegen konvergieren

ist aber ein unbestimmter Ausdruck, man muß daher andere Methoden anwenden, um die Konvergenz der Reihe zu beweisen. Eine derartige Möglichkeit wäre z.B. das Qotientenkriterium ob an /an+1 < 1 ist oder ob in einer hinlänglich kleinen Epsilon Umgebung an > an+1, damit die Folge konvergiert (Cauchy-Kriterium). d.h an = 1/q > an+1 = 1/q+1

Da n² < n³ ist und auch kleiner n³ ist, wäre somit Konvergenz gegeben.


Der Limes berechnet sich wie folgt:

(Man dividert den Zäher durch und den Nenner durch (um die n aus den Zählern zu kriegen!))

Leider nicht richtig, habe bei Baron nachgeschlagen, Baccus hat da besser aufgepaßt. Man muß alles durch die insgesamt größte Potenz (hier ) dividieren, auch wenn die Potenzen in Zähler und Nenner ungleich sind. Für Puristen formal richtiger die Brüche nicht dividieren sondern den Bruch mit jeweils erweitern. Danke für den Hinweis, Baccus!

     

da jeder Wert / den Limes 0 hat.


Lösung Übungsstunde Urbanek:

Da größere Potenz im Zähler steht, konvergiert die Reihe. Einfach Gleichung mit 1/n³ in Zähler und Nenner erweitert, dann Limes berechnet wie oben, Ergebnis 0/7 = 0

Hapi


Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: