TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 82

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n^{2}+2}}}$

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Lösungsvorschlag von Hapi

Erst einmal einige Überlegungen zu dieser offensichtlich geometrischen Reihe:

1. Die Reihe ist jedenfalls alternierend, beginnend mit ${\frac {(-1)^{0}}{\sqrt {1^{0}+2}}}={\frac {(1)}{\sqrt {2}}}$, dann ${\frac {(-1)}{\sqrt {1^{2}+2}}}={\frac {(-1)}{\sqrt {3}}}$

2. Reihe monoton fallend, nächste Glieder: ${\frac {(1)}{\sqrt {6}}}$, dann ${\frac {(-1)}{\sqrt {11}}}$; Reihe daherer alternierenden Reihe 1/(n+ konstanter Betrag)

3. Glieder konvergieren gegen 0, d.h. = 1 / unendlich und liegen bereits bei

     n = 10 zwischen 0,41 und 0,31)

4. Somit trifft der Satz von Leibnitz zu: an+1 =< an, ---> lim an = 0 ---> Reihe konvergent (hinreichend)

5. Reihe ist dann absolut konvergent, wenn die Summe der Beträge der Elemente konvergent ist

   |$\sum _{k\geq 0}$ ak| =< |$\sum _{k\geq 0}$|ak| < Epsilon ; trifft bei alternierender Reihe zu

Schlußfolgerung: Reihe ist konvergent und absolut konvergent

Hapi

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Lösung Übungsstunde Urbanek:

Alternierende Reihe, Leibnitzkriterium, Reihe monoton fallend, konvergiert gegen 0.

Das hatten wir auch. Dann hat er mit Ungleichungen gearbeitet:

  ${\frac {1}{n^{2}+2}}\geq {\frac {1}{n^{2}+2n^{2}}}={\frac {1}{n}}*{\frac {1}{\sqrt {3}}}$

1/n * einer Konstanten ist eine harmonische Reihe, die ist aber divergent, somit keine absolute Konvergenz.

Da lagen wir leider etwas daneben.

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Lösungsvorschlag von Baccus

$\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n^{2}+2}}}$

Hilfreiches

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ konvergent, dann gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_{n}$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_{n}\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" ${\begin{Bmatrix}\Rightarrow \\{\underset {i.A.}{\nLeftarrow }}\end{Bmatrix}}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_{n}$, d.h. $\operatorname {sgn}(a_{n})\ =\ (-1)^{n}$, und $\left|a_{n}\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0$ gilt:

$\sum a_{n}$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Minorantenkriterium

Wenn $\sum a_{n}$ und $\sum b_{n}$ zwei Reihen sind, $0\leq a_{n}\leq b_{n}$ für fast alle $n$ gilt und $\sum a_{n}$ divergent, dann ist auch $\sum b_{n}$ divergent.   (Satz 4.48)

Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$   (Beispiel 4.36)

• Die Reihe ist eine alternierende welche, wie man aus dem Koeffizienten $(-1)^{n}$ sieht.
• Der Absolutwert der Folgeglieder ist konvergent gegen Null: $\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}=0$.

Das paßt haargenau aufs Leibnitzkriterium $\Rightarrow$ konvergent.

Für die absolute Konvergenz muß man zeigen, daß $\sum _{n\geq 0}\left|{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n^{2}+2}}}\right|=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}$ konvergiert bzw. divergiert.

Da die Folge ${\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2n+1}}}={\frac {1}{n+1}}\;\forall n\geq 1$, sieht man anhand des Minorantenkriteriums, daß die Reihe divergiert.

Die Reihe ist also nicht absolut konvergent.

--Baccus 20:15, 25. Jan 2007 (CET)

Lösungsvorschlag von Kujaku

Hilfreiches

Quotientenkriterium:

Wenn $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q<1\;\forall n\geq n_{0}$, dann ist $\sum a_{n}$ absout konvergent.

Gleichbedeutend mit:

Wenn $\left|\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\right|<1$, dann ist $\sum a_{n}$ absout konvergent.

Lösung

Schritt 1-4 von Hapi, Schritt 5:

${\frac {\frac {1}{\sqrt {(n+1)^{2}+2}}}{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}}<1$

${\frac {\sqrt {n^{2}+2}}{\sqrt {(n+1)^{2}+2}}}<1$

da n+1 im nenner steht, wird der nenner bei genügend großem n immer größer sein als der zähler => ${\frac {\sqrt {n^{2}+2}}{\sqrt {(n+1)^{2}+2}}}<1$ w.A.

anmerkung koDiacc. < 1 reicht imo nicht, es muss heißen <= q < 1 , d.h. man muss eine zahl finden q, und man muss angeben ab welchem n das für alle n gilt.

ob es mit der limesform des Quotientenkriterium funktioniert weiß ich auch nicht. da laut wolframalpha der grenzwert genau 1 ist und nicht < 1

Man sieht auch beim Plot sehr schön, dass der Nenner den Zähler nicht "überholt" .. das n wächst gleich schnell, ein + 2n verändert es nicht im exponentiellen http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sqrt%28n%5E2%2B2%29%2C+sqrt%28%28n%2B1%29%5E2%2B3%29+from+0+to+20

Anm.: Auch Limesform des Quotientenkriteriums hilft hier nicht, da es für den Fall =1 kein Ergebnis liefert. D.h. das Quotientenkriterium führt hier nicht zum Ziel.

Lösungsvorschlag von Padraig

Im Prinzip ähnlich bzw. aufbauend auf den vorherigen Lösungsvorschlägen...

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• Definition - Konvergenzkriterium von Leibniz: Eine alternierende Reihe $\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}a_{n}$, für die $(a_{n})_{n\geq 0}$ eine monoton fallende Nullfolge ist, ist konvergent.

• Definition - Minorantenkriterium: Seien $\sum _{n}a_{n}$ und $\sum _{n}b_{n}$ zwei Reihen, sodass $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ für fast alle n. Falls $\sum _{n}b_{n}$ divergent ist, so ist auch die Reihe $\sum _{n}a_{n}$ divergent.

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Untersuche man nun, ob das Konvergenzkriterium von Leibniz anwendbar ist. Erleichtern wir uns dies, indem wir die Reihe anders anschreiben...

$\sum _{n\geq 0}(-1)^{n}\cdot {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}$

Zu überprüfen ist also gemäß Leibniz die Konvergenz von ${\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}=a_{n}$, wobei $a_{0}={\frac {1}{\sqrt {0^{2}+2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Der Verdacht liegt schon nahe, dass sie monoton fallend ist. Wir sehen...

$a_{n}>a_{n+1}$

${\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}>{\frac {1}{\sqrt {(n+1)^{2}+2}}}$

${\sqrt {n^{2}+2n+3}}>{\sqrt {n^{2}+2}}$

${\cancel {n^{2}}}+2n+3>{\cancel {n^{2}}}+2$

$2n>-1$ für alle $n\geq 0$

... dass sie streng monoton fallend ist. Nun zum Beweis, dass es eine Nullfolge ist, durch das Sandwich-Theorem:

$0\leq {\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}\leq {\frac {1}{\sqrt {n^{2}}}}={\frac {1}{n}}\rightarrow 0$

Somit greift also das Konvergenzkriterium von Leibniz, und unsere Reihe ist konvergent. Was damit aber noch nicht geklärt ist, ist die absolute Konvergenz. In unserem Falle bedeutet dies, dass ...

$\sum _{n\geq 0}|{\frac {(-1)^{n}}{\sqrt {n^{2}+2}}}|=\sum _{n\geq 0}{\frac {|(-1)^{n}|}{|{\sqrt {n^{2}+2}}|}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}$

Hierbei hilft uns nun das Minorantenkriterium, wobei wir eine Folge $b_{n}$ finden müssen, sodass $0\leq b_{n}\leq a_{n}$ gilt. Selbstverständlich gilt, dass ...

$\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}\geq {\frac {1}{\sqrt {2}}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2n^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{\sqrt {3n^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{{\sqrt {3}}n}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}+\sum _{n\geq 1}({\sqrt {3}}n)^{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}+\sum _{n\geq 1}({\sqrt {3}})^{-1}n^{-1}={\frac {1}{\sqrt {2}}}+\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{\sqrt {3}}}\cdot \underbrace {\frac {1}{n}} _{harm.R.}$

Schließlich erkennen wir, dass eine harmonische Reihe divergent ist. Gemäß Minorantenkriterium ist somit auch die Folge $\sum _{n\geq 0}{\frac {1}{\sqrt {n^{2}+2}}}$ divergent. Es handelt sich somit um keine absolute Konvergenz, und der Beweis ist abgeschlossen.

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--Padraig (Diskussion) 11:13, 05. Apr. 2022 (CEST)

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