TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 515

Untersuchen Sie, ob die angegebene Abbildung $A$ von ${ℝ}^3$ in ${ℝ}^2$ eine lineare Abbildung ist:

$A\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3x_1+5x_2-x_3\\ -3x_2\end{array}\right)$

Hilfreiches

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Lösung von Baccus

(Zusammenfassung aus der Diskussion im UE-Forum)

Zu zeigen ist:

• Additivität:

$A\left(\begin{array}{c}3(x_1+y_1)+5(x_2+y_2)-(x_3+y_3)\\ -3(x_2+y_2)\end{array}\right)$=

$A\left(\begin{array}{c}3x_1+5x_2-x_3+3y_1+5y_2-y_3\\ -3x_2-3y_2\end{array}\right)$=

$A\left(\begin{array}{c}3x_1+5x_2-x_3\\ -3x_2\end{array}\right)+A\left(\begin{array}{c}3y_1+5y_2-y_3\\ -3y_2\end{array}\right)$

• Homogenität:

$A\left(\begin{array}{c}\lambda 3x_1+\lambda 5x_2-\lambda x_3\\ -\lambda 3x_2\end{array}\right)$= $A\left(\begin{array}{c}\lambda (3x_1+5x_2-x_3)\\ \lambda (-3x_2)\end{array}\right)$= $\lambda A\left(\begin{array}{c}3x_1+5x_2-x_3\\ -3x_2\end{array}\right)$

(Danke Infamous, camus, navyseal!)

Baccus 02:21, 18. Jan 2007 (CET)

Links

• Diskussion im UE-Forum

Wikipädia:

• Vektorraum
• Körper
• Lineare Abbildung
• Homomorphismus

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