TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 54

Man finde alle sechsten Wurzeln von $z=8i$ in $\mathbb {C}$ und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar!

Zu lösen ist also: $z^{6}=0+8i$

Wir müssen die vorliegende Form in die Polarform umwandeln, und zwar in:

$z=r*(\cos \phi +i*\sin \phi )$

$r=|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {64}}=8$
$\phi ={\frac {\pi }{2}}$ da gilt:

\varphi ={\begin{cases}\arctan {\frac {b}{a}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a>0\\\arctan {\frac {b}{a}}+\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b\geq 0\\\arctan {\frac {b}{a}}-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a<0,b<0\\\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b>0\\-\pi /2&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ a=0,b<0\end{cases}}

{}={\begin{cases}\arccos {\frac {a}{r}}&\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b\geq 0\\\arccos \left(-{\frac {a}{r}}\right)-\pi &\mathrm {f{\ddot {u}}r} \ b<0\end{cases}}

Somit ergibt die Überführung in die Polarform:

$z^{6}=8*(\cos {\frac {\pi }{2}}+i*\sin {\frac {\pi }{2}})$

Die "Wurzelformel" ist: (Siehe auch https://web.archive.org/web/20180817161101/https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen sowie das Beispiel danach auf dieser Website)

$z_{0,...,5}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+k*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+k*360^{\circ }}{6}})\qquad k=\{0,1,2,3,4,5\}$

Die ${\frac {\pi }{2}}$ entsprechen den $90^{\circ }$ im folgenden.

$k=0\qquad z_{0}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+0*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+0*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(0.9659+i*0.2588)\qquad z_{0}=1.366+0,366i$

$k=1\qquad z_{1}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+1*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+1*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(0.2588+i*0.9659)\qquad z_{1}=0.366+1,366i$

$k=2\qquad z_{2}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+2*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+2*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(-0.7071+i*0.7071)\qquad z_{2}=-1+i$

$k=3\qquad z_{3}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+3*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+3*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(-0.9659+i*-0.2588)\qquad z_{3}=-1.366-0,366i$

$k=4\qquad z_{4}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+4*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+4*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(-0.2588+i*-0.9659)\qquad z_{4}=-0.366-1,366i$

$k=5\qquad z_{5}={\sqrt[{6}]{8}}*(\cos {\frac {90^{\circ }+5*360^{\circ }}{6}}+i\sin {\frac {90^{\circ }+5*360^{\circ }}{6}})={\sqrt[{6}]{8}}*(0.7071+i*-0.7071)\qquad z_{5}=1-i$

Siehe auch:

TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 54

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