TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 54

Man finde alle sechsten Wurzeln von $z=8i$ in $ℂ$ und stelle sie in der Gaußschen Zahlenebene dar!

Zu lösen ist also: $z^6=0+8i$

Wir müssen die vorliegende Form in die Polarform umwandeln, und zwar in:

$z=r\ast (\cos \varphi +i\ast \sin \varphi )$

• $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{64}=8$
• $\varphi =\frac{\pi }{2}$ da gilt:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{b}{a}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a>0\\ \arctan \frac{b}{a}+\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b\ge 0\\ \arctan \frac{b}{a}-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b<0\\ \pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b>0\\ -\pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b<0\end{array}$

$=\{\begin{array}{cc}\arccos \frac{a}{r}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}b\ge 0\\ \arccos (-\frac{a}{r})-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}b<0\end{array}$

Somit ergibt die Überführung in die Polarform:

$z^6=8\ast (\cos \frac{\pi }{2}+i\ast \sin \frac{\pi }{2})$

Die "Wurzelformel" ist: (Siehe auch https://web.archive.org/web/20180817161101/https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen sowie das Beispiel danach auf dieser Website)

$z_{0,\mathrm{...},5}=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+k\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+k\ast 360^{\circ }}{6})k=\{0,1,2,3,4,5\}$

Die $\frac{\pi }{2}$ entsprechen den $90^{\circ }$ im folgenden.

$k=0z_0=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+0\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+0\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (0.9659+i\ast 0.2588)z_0=1.366+0,366i$

$k=1z_1=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+1\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+1\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (0.2588+i\ast 0.9659)z_1=0.366+1,366i$

$k=2z_2=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+2\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+2\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (-0.7071+i\ast 0.7071)z_2=-1+i$

$k=3z_3=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+3\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+3\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (-0.9659+i\ast -0.2588)z_3=-1.366-0,366i$

$k=4z_4=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+4\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+4\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (-0.2588+i\ast -0.9659)z_4=-0.366-1,366i$

$k=5z_5=\sqrt[6]{8}\ast (\cos \frac{90^{\circ }+5\ast 360^{\circ }}{6}+i\sin \frac{90^{\circ }+5\ast 360^{\circ }}{6})=\sqrt[6]{8}\ast (0.7071+i\ast -0.7071)z_5=1-i$

Siehe auch:

• http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahlen
• https://web.archive.org/web/20180817161101/https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen
• 5._VO_24.10.2005
• 6._VO_25.10.2005
• 4._VO_19.10.2005, insbesondere 4._VO_19.10.2005#Komplexe_Zahlen_2