TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 61
Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von in der Form .
Lösung von Hapi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(Korrigierte Fassung)
entspricht dem TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 59, daher Lösung analog.
Zunächst muß der Vektor Z erstellt werden: Z = - i in der Form a - bi
Der Betrag von Z = |Z| , berechnet als = =
Z = |Z| * (cos - i.sin) =
= 1/ = 1/2 ,....
= = 1/2*
Der Cosinus-Wert 1/2 entspricht dem Winkel -60 Grad oder /3, ebenso der Sinus Wert, da der Wert im 4 Quadranten liegt
Somit haben wir die Polarkoordinaten des Vektors Z: Z = [, /3]
bzw. [, /6] oder 300 Grad
Die fünfte Wurzel ergibt sich dann durch einfaches dividieren, wobei sich jede der 5 Lösungen um 1/5 des Kreises 2*,
somit um 2/5 oder 72 Grad unterscheidet.
Die n-te Wurzel ist dann ganz einfach Zk = [|Z|,/n+k.2*/n], k [0 .. n]
Z0 = [, /6 + 0]
(5-Wurzel aus der Wurzel von 8 ist die zehnte Wurzel, der Winkel wird einfach durch 5 dividiert, d.h aus /6 wird /6 bzw. 300/5 = 60 Grad)
Z1 = [, /6+2/5] 132 Grad
Z2 = [, /6+4/5] 204 Grad
Z3 = [, /6+6/5] 276 Grad
Z4 = [, /6+8/5] 348 Grad
(Z5 = Z0 348 + 72 = 60 Grad (420 -360))
Cosinus bringt nur positive Werte, erst der Sinus zeigt, daß das Ergebnis nicht /3 sondern -/3 und somit im 4. Quadranten liegt. Sorry, hoffe jetzt passts. Habe lieber den postiven Wert /6 verwendet, da sich -/3 schlechter in Winkel umrechnen und dividieren läßt.
Urbanek hat die Lösung mit einem gleichseitigen Dreieck im Einheitskreis erklärt, Seitenlänge 2* und halber Grundlänge . Dieses hat bekanntlich den Winkel 60 Grad oder in diesem Fall -/3
Hapi
Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Lösung von Hapi ist korrekt bis auf das verschluderte Vorzeichen des Imaginärteils:
.
Die Zahl Z ist also .
Das in die Wurzel-Formel einsetzen, Rest (fast) wie oben.
Tips[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Manche Übungsbetreuer kommen in Rage, wenn man mit komplexen Zahlen, die offensichtlich im IV. Quadranten liegen, rechnet, als ob sie einen positiven Phasenwinkel hätten. Beim UE-Test wäre das dann ein Durchfaller :-(
Zum Thema "berechnen Sie ohne Taschenrechner":
Unser UE-Leiter meinte dazu, arctan berechnet man entweder mit
- Taschenrechner,
- Kenntniss bestimmter Winkel(ergebnisse),
- Vorgaben in der Test-Angabe.
Na dann. :-(
Baccus
Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ähnliche Beispiele: