TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 61

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Man berechne ohne Taschenrechner alle Werte von in der Form .


Lösung von Hapi[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(Korrigierte Fassung)

entspricht dem TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 59, daher Lösung analog.


Zunächst muß der Vektor Z erstellt werden: Z = - i in der Form a - bi

Der Betrag von Z = |Z| , berechnet als = =


Z = |Z| * (cos - i.sin) =


= 1/ = 1/2 ,....

= = 1/2*

Der Cosinus-Wert 1/2 entspricht dem Winkel -60 Grad oder /3, ebenso der Sinus Wert, da der Wert im 4 Quadranten liegt


Somit haben wir die Polarkoordinaten des Vektors Z: Z = [, /3] bzw. [, /6] oder 300 Grad


Die fünfte Wurzel ergibt sich dann durch einfaches dividieren, wobei sich jede der 5 Lösungen um 1/5 des Kreises 2*,

somit um 2/5 oder 72 Grad unterscheidet.


Die n-te Wurzel ist dann ganz einfach Zk = [|Z|,/n+k.2*/n], k [0 .. n]


Z0 = [, /6 + 0]

  (5-Wurzel aus der Wurzel von 8 ist die zehnte Wurzel, der Winkel wird einfach durch 5 dividiert,
   d.h aus /6 wird /6   bzw. 300/5  = 60 Grad)

Z1 = [, /6+2/5] 132 Grad

Z2 = [, /6+4/5] 204 Grad

Z3 = [, /6+6/5] 276 Grad

Z4 = [, /6+8/5] 348 Grad

(Z5 = Z0 348 + 72 = 60 Grad (420 -360))


Cosinus bringt nur positive Werte, erst der Sinus zeigt, daß das Ergebnis nicht /3 sondern -/3 und somit im 4. Quadranten liegt. Sorry, hoffe jetzt passts. Habe lieber den postiven Wert /6 verwendet, da sich -/3 schlechter in Winkel umrechnen und dividieren läßt.

Urbanek hat die Lösung mit einem gleichseitigen Dreieck im Einheitskreis erklärt, Seitenlänge 2* und halber Grundlänge . Dieses hat bekanntlich den Winkel 60 Grad oder in diesem Fall -/3

Hapi


Lösung von Baccus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lösung von Hapi ist korrekt bis auf das verschluderte Vorzeichen des Imaginärteils:

.

Die Zahl Z ist also .

Das in die Wurzel-Formel einsetzen, Rest (fast) wie oben.


Tips[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Manche Übungsbetreuer kommen in Rage, wenn man mit komplexen Zahlen, die offensichtlich im IV. Quadranten liegen, rechnet, als ob sie einen positiven Phasenwinkel hätten. Beim UE-Test wäre das dann ein Durchfaller :-(


Zum Thema "berechnen Sie ohne Taschenrechner":

Unser UE-Leiter meinte dazu, arctan berechnet man entweder mit

  1. Taschenrechner,
  2. Kenntniss bestimmter Winkel(ergebnisse),
  3. Vorgaben in der Test-Angabe.

Na dann. :-(


Baccus

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnliche Beispiele: