TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 59
Man berechne rechnerisch (ohne Taschenrechner) alle Werte vom in der Form
Umrechnung in die Polarform[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Einleitende Berechnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es gilt zur Umrechnung in die Polarform: !
Die der umzurechnede Gleichung ist:
- da
Ein zu führender Nachweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nachweis mittels gleichseitigem Dreieck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wir müssen nun beweisen, dass gilt.
Man hat ein gleichseitiges Dreieck. Die Hälfte dieses Dreiecks ist ein rechtwinkeliges Dreieck, wobei die anderen beiden Winkel 60° und 30° haben.
Die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ist:
Wir können das vereinfachen:
Von nun an gehen wir vom halben Dreieck aus, wobei das alte h nun zu einer Kathete wird:
ist der Winkel, der durch die Dreieckshalbierung in der Mitte durchgeschnitten wurde; G=Gegenkathete, A=Ankathete, der Winkel ist 30°.
Also gilt umgekehrt: Q.e.d.
(arctan ist die Umkehrfunktion von tan!)
Unser Ergebnis oben vor dem Nachweis hat ein negatives Vorzeichen - aber bei der arctan-Funktion liefern 30° und -30° denselben Wert (betragsmässig):
Nachweis mittels Einheitskreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Durch die Beziehungen
kann unter Verwendung des Einheitskreises auch die Analogie -30° = nachgewiesen werden.
Umrechnung in Polarkoordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
(Folgendes bis zur Lösung sind nur Anmerkungen)!
Zuerst Angabe in Grad, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:
- Von Grad nach Bogenmaß:
- Von Bogenmaß nach Grad:
Polarformdarstellung der Gleichung:
Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Mittels Satz von Moivre[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die "Wurzelformel" ist: (Siehe auch https://web.archive.org/web/20180817161101/https://de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen sowie das Beispiel danach auf dieser Website)
andere Form[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Danksagung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Ich danke Christoph R. für den Hinweis und die Entschlüsselung von http://www.emath.de/Mathe-Board/messages/7/14736.html?1110537571 - siehe auch f.thread:36246 ! --Mnemetz 21:26, 6. Nov 2005 (CET)
Ressourcen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Andere Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 54
- TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 65
Vorlesung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Foren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Websites[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Bogenmaß
- Eine Frage zu arctan
- Wikipedia-Eintrag Bogenmaß
- Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten