TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 65

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(Am 10.11. gründlich überarbeitet - sollte eigentlich so eine "Referatsvorlage" sein) :-) --Mnemetz 13:04, 10. Nov 2005 (CET)

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung  z^2 + 4z + 8 = 0 sowohl in der Form  a + bi, a \in \mathbb{R} als auch in der Polarkoordinatenform  r*(cos \phi + i*sin\phi), r \geq 0, 0 \leq \phi \leq 2\pi dar!

 z^2 + 4z + 8 = 0


Fundamentalsatz der Algebra

Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades mit Koeeffizienten in  \mathbb{C} n verschiedene Lösungen in  \mathbb{C} .

Unsere gegebene Gleichung ist zweiten Grades, daher sind zwei Lösungen zu erwarten.


Isolierung der Koeffizienten

Die gegebene quadratische Gleichung

 z^2 + 4z + 8 = 0

stellen wir allgemeiner wie folgt dar:

 az^2 + bz + c = 0

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:

  • a=1
  • b=4
  • c=8

Lösungen errechnen

Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen

z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{(b^2 - 4ac)}}{2a}


Betrachtung der Diskriminante

Die Diskriminante (D) ist  b^2 - 4ac . Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in \mathbb{R} oder \mathbb{C} zu erwarten sind.

Wenn gilt:

  • D > 0 \Rightarrow verschiedene reelle Lösungen
  • D = 0 \Rightarrow genau eine Lösung
  • D < 0 \Rightarrow keine reelle Lösung

Unsere Diskriminante beträgt -16, daher werden wir zwei komplexe Lösungen erwarten!


Berechnung der Lösung

 z_{1,2} = - 2 \pm i\sqrt{4} = -2 \pm 2i


Umrechnung in die Polarform

Die Polarform ist definiert durch:  z = r*(\cos\phi + i*\sin\phi)

Zuordnung der einzelnen Bestandteile:

Gaussebene Koordinatendarstellung.png Wobei

Berechnung von r

  • r ist der Betrag von z und ergibt sich aus der Formel a^2+b^2=c^2 für rechtwinkelige Dreiecke
  •  r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{8}


Berechnung der Winkel

Berechnung von \phi_1 und \phi_2

Zur Orientierung und Vermeidung einer falschen Winkelannahme empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen, aus der man in etwa die Lösungen entnehmen kann:


Bsp65 skizze.png


Allein schon diese Skizze sollte eventuelle irrige Winkelannahmen verhüten (z.B. 45°).


Regeln für arctan:

\varphi =  \begin{cases}\arctan\frac{b}{a}&\mathrm{f\ddot ur}\ a>0\\
\arctan\frac ba+\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b\geq0\\
\arctan\frac ba-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ a<0,b<0\\
\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b>0\\
-\pi/2&\mathrm{f\ddot ur}\ a=0,b<0
\end{cases}
{}=\begin{cases}\arccos\frac ar&\mathrm{f\ddot ur}\ b\geq0\\
\arccos\left(-\frac ar\right)-\pi&\mathrm{f\ddot ur}\ b<0
\end{cases}

Unser a ist -2, also kleiner als Null. b kann zwei Werte annehmen, 2 oder -2 - daher müssen wir folgende Regeln anwenden:

  • \phi_1 bezieht sich auf z_1 = -2 + 2i
    • Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b \geq 0
    • \arctan \frac{-2}{2} + \pi = -45^\circ + 180^\circ = 135^\circ
    •  \pi entspricht 180°, 2*\pi entsprechen 360°
  • \phi_2 bezieht sich auf z_2 = -2 - 2i
    • Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b \leq 0
    • \arctan \frac{-2}{-2} - \pi = 45^\circ - 180^\circ = -135^\circ


Somit erhalten wir die zwei Lösungen in der Polarform:

z_1 = r*(\cos\phi_1 + i*\sin\phi_1) = \sqrt{8} * (cos(135^\circ) + i*sin(135^\circ)) \qquad \Rightarrow \qquad [\sqrt{8},135^\circ] \Rightarrow \qquad [\sqrt{8},\frac{3}{4}\pi]

z_2 = r*(\cos\phi_2 + i*\sin\phi_2) = \sqrt{8} * (cos(-135^\circ) + i*sin(-135^\circ)) \qquad \Rightarrow \qquad [\sqrt{8},-135^\circ] \Rightarrow \qquad [\sqrt{8},-\frac{3}{4}\pi]

Und da ich bei z_2 \text{ } 2\pi dazu addieren kann (entspricht 360°) erhalte ich als Winkel 225° und [\sqrt{8},\frac{5}{4}\pi]

Zuerst wurden die Polarkoordinaten in Grad angegeben, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:

  • Von Grad nach Bogenmaß:
{\rm Winkel}_{\rm Bogenmass} = \frac{{\rm Winkel}_{\rm Grad} \cdot \pi} {180}
  • Von Bogenmaß nach Grad:
{\rm Winkel}_{\rm Grad} = \frac{{\rm Winkel}_{\rm Bogenmass} \cdot 180} {\pi}


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