TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 65

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(Am 10.11. gründlich überarbeitet - sollte eigentlich so eine "Referatsvorlage" sein) :-) --Mnemetz 13:04, 10. Nov 2005 (CET)

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung sowohl in der Form als auch in der Polarkoordinatenform dar!


Fundamentalsatz der Algebra

Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades mit Koeeffizienten in n verschiedene Lösungen in .

Unsere gegebene Gleichung ist zweiten Grades, daher sind zwei Lösungen zu erwarten.


Isolierung der Koeffizienten

Die gegebene quadratische Gleichung

stellen wir allgemeiner wie folgt dar:

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:

  • a=1
  • b=4
  • c=8

Lösungen errechnen

Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen


Betrachtung der Diskriminante

Die Diskriminante (D) ist . Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in oder zu erwarten sind.

Wenn gilt:

  • D > 0 verschiedene reelle Lösungen
  • D = 0 genau eine Lösung
  • D < 0 keine reelle Lösung

Unsere Diskriminante beträgt -16, daher werden wir zwei komplexe Lösungen erwarten!


Berechnung der Lösung


Umrechnung in die Polarform

Die Polarform ist definiert durch:

Zuordnung der einzelnen Bestandteile:

Wobei

Berechnung von r

  • r ist der Betrag von z und ergibt sich aus der Formel für rechtwinkelige Dreiecke


Berechnung der Winkel

Berechnung von und

Zur Orientierung und Vermeidung einer falschen Winkelannahme empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen, aus der man in etwa die Lösungen entnehmen kann:



Allein schon diese Skizze sollte eventuelle irrige Winkelannahmen verhüten (z.B. 45°).


Regeln für arctan:

Unser a ist -2, also kleiner als Null. b kann zwei Werte annehmen, 2 oder -2 - daher müssen wir folgende Regeln anwenden:

  • bezieht sich auf
    • Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b 0
    • entspricht 180°, entsprechen 360°
  • bezieht sich auf
    • Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b 0


Somit erhalten wir die zwei Lösungen in der Polarform:

Und da ich bei dazu addieren kann (entspricht 360°) erhalte ich als Winkel 225° und

Zuerst wurden die Polarkoordinaten in Grad angegeben, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:

  • Von Grad nach Bogenmaß:
  • Von Bogenmaß nach Grad:


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