(Am 10.11. gründlich überarbeitet - sollte eigentlich so eine "Referatsvorlage" sein) :-) --Mnemetz 13:04, 10. Nov 2005 (CET)
Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung sowohl in der Form als auch in der Polarkoordinatenform dar!
Fundamentalsatz der Algebra
Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades mit Koeeffizienten in n verschiedene Lösungen in .
Unsere gegebene Gleichung ist zweiten Grades, daher sind zwei Lösungen zu erwarten.
Isolierung der Koeffizienten
Die gegebene quadratische Gleichung
stellen wir allgemeiner wie folgt dar:
a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:
Lösungen errechnen
Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen
Betrachtung der Diskriminante
Die Diskriminante (D) ist . Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in oder zu erwarten sind.
Wenn gilt:
- D > 0 verschiedene reelle Lösungen
- D = 0 genau eine Lösung
- D < 0 keine reelle Lösung
Unsere Diskriminante beträgt -16, daher werden wir zwei komplexe Lösungen erwarten!
Berechnung der Lösung
Umrechnung in die Polarform
Die Polarform ist definiert durch:
Zuordnung der einzelnen Bestandteile:
Wobei
Berechnung von r
- r ist der Betrag von z und ergibt sich aus der Formel für rechtwinkelige Dreiecke
Berechnung der Winkel
Berechnung von und
Zur Orientierung und Vermeidung einer falschen Winkelannahme empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen, aus der man in etwa die Lösungen entnehmen kann:
Allein schon diese Skizze sollte eventuelle irrige Winkelannahmen verhüten (z.B. 45°).
Regeln für arctan:
-
Unser a ist -2, also kleiner als Null. b kann zwei Werte annehmen, 2 oder -2 - daher müssen wir folgende Regeln anwenden:
- bezieht sich auf
- Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b 0
- entspricht 180°, entsprechen 360°
- bezieht sich auf
- Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b 0
Somit erhalten wir die zwei Lösungen in der Polarform:
Und da ich bei dazu addieren kann (entspricht 360°) erhalte ich als Winkel 225° und
Zuerst wurden die Polarkoordinaten in Grad angegeben, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:
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