TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 65

(Am 10.11. gründlich überarbeitet - sollte eigentlich so eine "Referatsvorlage" sein) :-) --Mnemetz 13:04, 10. Nov 2005 (CET)

Stellen Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung $z^2+4z+8=0$ sowohl in der Form $a+bi,a\in ℝ$ als auch in der Polarkoordinatenform $r\ast (cos\varphi +i\ast sin\varphi ),r\ge 0,0\le \varphi \le 2\pi$ dar!

$z^2+4z+8=0$

Fundamentalsatz der Algebra

Gemäß dem Fundamentalsatz der Algebra hat eine Gleichung n-ten Grades mit Koeeffizienten in $ℂ$ n verschiedene Lösungen in $ℂ$.

Unsere gegebene Gleichung ist zweiten Grades, daher sind zwei Lösungen zu erwarten.

Isolierung der Koeffizienten

Die gegebene quadratische Gleichung

$z^2+4z+8=0$

stellen wir allgemeiner wie folgt dar:

$a{z}^2+bz+c=0$

a,b,c sind die Koeffizienten, und zwar:

• a=1
• b=4
• c=8

Lösungen errechnen

Allgemeine Lösungsformel f. quadratische Gleichungen

$z_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{(b^2-4ac)}}{2a}$

Betrachtung der Diskriminante

Die Diskriminante (D) ist $b^2-4ac$. Je nach Wert dr Diskriminante kann man feststellen, wieviele Lösungen es gibt sowie ob sie in $ℝ$ oder $ℂ$ zu erwarten sind.

Wenn gilt:

• D > 0 $\Rightarrow$ verschiedene reelle Lösungen
• D = 0 $\Rightarrow$ genau eine Lösung
• D < 0 $\Rightarrow$ keine reelle Lösung

Unsere Diskriminante beträgt -16, daher werden wir zwei komplexe Lösungen erwarten!

Berechnung der Lösung

$z_{1,2}=-2\pm i\sqrt{4}=-2\pm 2i$

Umrechnung in die Polarform

Die Polarform ist definiert durch: $z=r\ast (\cos \varphi +i\ast \sin \varphi )$

Zuordnung der einzelnen Bestandteile:

Wobei

Berechnung von r

• r ist der Betrag von z und ergibt sich aus der Formel $a^2+b^2=c^2$ für rechtwinkelige Dreiecke
• $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{8}$

Berechnung der Winkel

Berechnung von ${\varphi }_1$ und ${\varphi }_2$

Zur Orientierung und Vermeidung einer falschen Winkelannahme empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen, aus der man in etwa die Lösungen entnehmen kann:

Allein schon diese Skizze sollte eventuelle irrige Winkelannahmen verhüten (z.B. 45°).

Regeln für arctan:

$\phi =\{\begin{array}{cc}\arctan \frac{b}{a}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a>0\\ \arctan \frac{b}{a}+\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b\ge 0\\ \arctan \frac{b}{a}-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a<0,b<0\\ \pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b>0\\ -\pi /2& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}a=0,b<0\end{array}$

$=\{\begin{array}{cc}\arccos \frac{a}{r}& \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}b\ge 0\\ \arccos (-\frac{a}{r})-\pi & \mathrm{f}\ddot{\mathrm{u}}\mathrm{r}b<0\end{array}$

Unser a ist -2, also kleiner als Null. b kann zwei Werte annehmen, 2 oder -2 - daher müssen wir folgende Regeln anwenden:

• ${\varphi }_1$ bezieht sich auf $z_1=-2+2i$
  • Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b $\ge$ 0
  • $\arctan \frac{-2}{2}+\pi =-45^{\circ }+180^{\circ }=135^{\circ }$
  • $\pi$ entspricht 180°, $2\ast \pi$ entsprechen 360°
• ${\varphi }_2$ bezieht sich auf $z_2=-2-2i$
  • Zu berücksichtigen ist also die Regel für a < 0, b $\le$ 0
  • $\arctan \frac{-2}{-2}-\pi =45^{\circ }-180^{\circ }=-135^{\circ }$

Somit erhalten wir die zwei Lösungen in der Polarform:

$z_1=r\ast (\cos {\varphi }_1+i\ast \sin {\varphi }_1)=\sqrt{8}\ast (cos(135^{\circ })+i\ast sin(135^{\circ }))\Rightarrow [\sqrt{8},135^{\circ }]\Rightarrow [\sqrt{8},\frac{3}{4}\pi ]$

$z_2=r\ast (\cos {\varphi }_2+i\ast \sin {\varphi }_2)=\sqrt{8}\ast (cos(-135^{\circ })+i\ast sin(-135^{\circ }))\Rightarrow [\sqrt{8},-135^{\circ }]\Rightarrow [\sqrt{8},-\frac{3}{4}\pi ]$

Und da ich bei $z_{2}2\pi$ dazu addieren kann (entspricht 360°) erhalte ich als Winkel 225° und $[\sqrt{8},\frac{5}{4}\pi ]$

Zuerst wurden die Polarkoordinaten in Grad angegeben, danach in Bogenmaß. Die Umrechnungsformeln sind:

• Von Grad nach Bogenmaß:

${\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}_{\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}=\frac{{\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}\cdot \pi }{180}$

• Von Bogenmaß nach Grad:

${\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}_{\mathrm{G}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}=\frac{{\mathrm{W}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{l}}_{\mathrm{B}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{s}\mathrm{s}}\cdot 180}{\pi }$

Ressourcen

Andere Beispiele

• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 54
• TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 59

Vorlesung

• 4._VO_19.10.2005
• 5._VO_24.10.2005

Foren

• f.thread:36090

Websites

• Bogenmaß
• Wikipedia-Eintrag Bogenmaß
• Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten