TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 376

Bestimmen Sie zu Beispiel 375) $A(\mathbb {R} ^{2})$ sowie Rang $A$ und verifizieren Sie die Beziehung dim(Kern $A$ ) + Rang $A$ = dim $\mathbb {R} ^{2}$ .

Lösung von fabs[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Rang einer Abbildung ist die Dimension des Bildes der Abbildung. Komplizierter, aber möglicherweise eindeutiger ist es, den Rang als die Anzahl der linear unabhängigen Spalten der Abbildungsmatrix zu berechnen.
In TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 375 wurde eine Formel für die Abbildung errechnet:
$Vektorv={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}|A(v)={\begin{pmatrix}2y-x\\x-y\end{pmatrix}}$
Angewandt auf die Basisvektoren ergibt das:
$A{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$
$A{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$
Diese beiden Vektoren ergeben die Spalten der Abbildungsmatrix A:
$A={\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}}$
Durch eine elementare Spaltenumformung von A (Addieren des zweifachen der ersten Spalte zur zweiten und Multiplikation der ersten Spalte mit -1) erhalten wir die Halbdiagonalform der Matrix A, anhand der sich der Rang ablesen lässt:
$2\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-2\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$
$-1\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$
$A''={\begin{pmatrix}1&0\\-1&1\end{pmatrix}}$
Da die Matrix 2 linear unabhängige Spalten besitzt (vgl. Buch Seite 110), íst der Rang der Abbildung gleich 2. In TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 375 wurde die Dimension des Kerns von A mit 0 bestimmt, daher stimmt die zu verifizierende Beziehung "dim(Kern A) + Rang A = dim R²", denn 0 + 2 = 2 .