TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 377

Bestimmen Sie für die lineare Abbildung $A$ aus Beispiel 375) und Beispiel 376) die Matrix bezüglich der kanonischen Basis.

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Exzerpt aus TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 531:

Sei $A:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{2}$ die lineare Abbildung mit $A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ , $A{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ .

Lineare Abbildung

Lineare Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,\boxplus ,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$ .

$f:V\rightarrow W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

$\forall {\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}}\oplus {\overrightarrow {y}})=f({\overrightarrow {x}})\boxplus f({\overrightarrow {y}})$
$\forall \lambda \in K:\quad f(\lambda {\overrightarrow {x}})=\lambda f({\overrightarrow {x}})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

\forall {\overrightarrow {x}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}})=M{\overrightarrow {x}}

Spezialisierung:

Die kanonische Basis des Vektorraums $\mathbb {R} ^{2}$ bildet $\quad {\begin{pmatrix}1\quad 0\\0\quad 1\end{pmatrix}}$ .

Lösung von Kujaku[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir wollen $A(B)=MB$ und suchen daher den ersten Spaltenvektor als Linearkombination der beiden gegebenen Vektoren ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$

Der Spaltenvektor ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ entsteht aus ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ ;

Nun wenden wir die Rechenregeln für lineare Abbildungen an (siehe Definition 1./2.). $A({\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}})$ = $A{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}-A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}$ .

Selbes Prinzip... Der Spaltenvektor ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ entsteht aus ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ ;

$A(2{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}})$ = $2A{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}-A{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ = $2{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$ = ${\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}$ .