TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 377

Bestimmen Sie für die lineare Abbildung $A$ aus Beispiel 375) und Beispiel 376) die Matrix bezüglich der kanonischen Basis.

Hilfreiches

Exzerpt aus TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS06/Beispiel 531:

Sei $A:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die lineare Abbildung mit $A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$, $A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$.

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Spezialisierung:

Die kanonische Basis des Vektorraums ${ℝ}^2$ bildet $\left(\begin{array}{c}10\\ 01\end{array}\right)$.

Lösung von Kujaku

Wir wollen $A(B)=MB$ und suchen daher den ersten Spaltenvektor als Linearkombination der beiden gegebenen Vektoren $\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

Der Spaltenvektor $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ entsteht aus $\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$;

Nun wenden wir die Rechenregeln für lineare Abbildungen an (siehe Definition 1./2.). $A(\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right))$= $A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)-A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$= $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$= $\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$.

Selbes Prinzip... Der Spaltenvektor $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ entsteht aus $\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$;

$A(2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right))$= $2A\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)-A\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)$= $2\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$= $\left(\begin{array}{c}2\\ -1\end{array}\right)$.

Die resultierende Matrix ist also

$A(B)=\left(\begin{array}{c}-12\\ 1-1\end{array}\right)=MB=M$

$B$ ist die Einheitsmatrix und daher $MB=M$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum

Wikipädia:

• Vektorraum
• Lineare_Abbildung
• Kanonische Basis
• Dimension

Beispiele:

• Ähnliches Beispiel:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 374
• In der Angabe referenziert:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 375
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 376