TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 82

Man untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz und absolute Konvergenz.

$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n^2+2}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Hapi

Erst einmal einige Überlegungen zu dieser offensichtlich geometrischen Reihe:

1. Die Reihe ist jedenfalls alternierend, beginnend mit $\frac{(-1{)}^0}{\sqrt{1^0+2}}=\frac{(1)}{\sqrt{2}}$, dann $\frac{(-1)}{\sqrt{1^2+2}}=\frac{(-1)}{\sqrt{3}}$

2. Reihe monoton fallend, nächste Glieder: $\frac{(1)}{\sqrt{6}}$, dann $\frac{(-1)}{\sqrt{11}}$; Reihe daherer alternierenden Reihe 1/(n+ konstanter Betrag)

3. Glieder konvergieren gegen 0, d.h. = 1 / unendlich und liegen bereits bei

     n = 10 zwischen 0,41 und 0,31)

4. Somit trifft der Satz von Leibnitz zu: an+1 =< an, ---> lim an = 0 ---> Reihe konvergent (hinreichend)

5. Reihe ist dann absolut konvergent, wenn die Summe der Beträge der Elemente konvergent ist

   |$\sum _{k\ge 0}$ ak| =< |$\sum _{k\ge 0}$|ak| < Epsilon ; trifft bei alternierender Reihe zu

Schlußfolgerung: Reihe ist konvergent und absolut konvergent

Hapi

---

Lösung Übungsstunde Urbanek:

Alternierende Reihe, Leibnitzkriterium, Reihe monoton fallend, konvergiert gegen 0.

Das hatten wir auch. Dann hat er mit Ungleichungen gearbeitet:

  $\frac{1}{n^2+2}\ge \frac{1}{n^2+2n^2}=\frac{1}{n}\ast \frac{1}{\sqrt{3}}$

1/n * einer Konstanten ist eine harmonische Reihe, die ist aber divergent, somit keine absolute Konvergenz.

Da lagen wir leider etwas daneben.

---

Lösungsvorschlag von Baccus

$\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n^2+2}}$

Hilfreiches

Konvergenz von Reihen

Konvergenzeigenschaften von Reihen:

• Ist $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ konvergent, dann gilt $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, aber nicht umgekehrt.   (Satz 4.35)
• $\sum a_n$ heißt absolut konvergent, wenn $\sum \left|a_n\right|$ konvergent ist.   (Definition 4.43)

"absolut konvergent" $\left\{\begin{array}{c}\Rightarrow \\ \underset{i.A.}{\nLeftarrow }\end{array}\right\}$ "konvergent", d.h. Absolute Konvergenz ist eine stärker bindende Aussage als Konvergenz.   (Satz 4.44)

Leibniz-Kriterium

Für eine alternierende Reihe $\sum a_n$, d.h. $\mathrm{sgn}(a_n)=(-1{)}^n$, und $\left|a_n\right|$ monoton fallend und konvergent nach $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$ gilt:

$\sum a_n$ ist konvergent.   (Satz 4.41)

Minorantenkriterium

Wenn $\sum a_n$ und $\sum b_n$ zwei Reihen sind, $0\le a_n\le b_n$ für fast alle $n$ gilt und $\sum a_n$ divergent, dann ist auch $\sum b_n$ divergent.   (Satz 4.48)

Harmonische Reihe

Die harmonischen Reihe ist streng monoton steigend und divergent.

$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n}$   (Beispiel 4.36)

• Die Reihe ist eine alternierende welche, wie man aus dem Koeffizienten $(-1{)}^n$ sieht.
• Der Absolutwert der Folgeglieder ist konvergent gegen Null: $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}=0$.

Das paßt haargenau aufs Leibnitzkriterium $\Rightarrow$ konvergent.

Für die absolute Konvergenz muß man zeigen, daß $\sum _{n\ge 0}\left|\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n^2+2}}\right|=\sum _{n\ge 0}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ konvergiert bzw. divergiert.

Da die Folge $\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}\ge \frac{1}{\sqrt{n^2+2n+1}}=\frac{1}{n+1}\mathrm{\forall }n\ge 1$, sieht man anhand des Minorantenkriteriums, daß die Reihe divergiert.

Die Reihe ist also nicht absolut konvergent.

--Baccus 20:15, 25. Jan 2007 (CET)

Lösungsvorschlag von Kujaku

Hilfreiches

Quotientenkriterium:

Wenn $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\le q<1\mathrm{\forall }n\ge n_0$, dann ist $\sum a_n$ absout konvergent.

Gleichbedeutend mit:

Wenn $\left|\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\right|<1$, dann ist $\sum a_n$ absout konvergent.

Lösung

Schritt 1-4 von Hapi, Schritt 5:

$\frac{\frac{1}{\sqrt{(n+1{)}^2+2}}}{\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}}<1$

$\frac{\sqrt{n^2+2}}{\sqrt{(n+1{)}^2+2}}<1$

da n+1 im nenner steht, wird der nenner bei genügend großem n immer größer sein als der zähler => $\frac{\sqrt{n^2+2}}{\sqrt{(n+1{)}^2+2}}<1$ w.A.

anmerkung koDiacc. < 1 reicht imo nicht, es muss heißen <= q < 1 , d.h. man muss eine zahl finden q, und man muss angeben ab welchem n das für alle n gilt.

ob es mit der limesform des Quotientenkriterium funktioniert weiß ich auch nicht. da laut wolframalpha der grenzwert genau 1 ist und nicht < 1

Man sieht auch beim Plot sehr schön, dass der Nenner den Zähler nicht "überholt" .. das n wächst gleich schnell, ein + 2n verändert es nicht im exponentiellen http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+sqrt%28n%5E2%2B2%29%2C+sqrt%28%28n%2B1%29%5E2%2B3%29+from+0+to+20

Anm.: Auch Limesform des Quotientenkriteriums hilft hier nicht, da es für den Fall =1 kein Ergebnis liefert. D.h. das Quotientenkriterium führt hier nicht zum Ziel.

Lösungsvorschlag von Padraig

Im Prinzip ähnlich bzw. aufbauend auf den vorherigen Lösungsvorschlägen...

---

• Definition - Konvergenzkriterium von Leibniz: Eine alternierende Reihe $\sum _{n\ge 0}(-1{)}^n{a}_n$, für die $(a_n{)}_{n\ge 0}$ eine monoton fallende Nullfolge ist, ist konvergent.

• Definition - Minorantenkriterium: Seien $\sum _n{a}_n$ und $\sum _n{b}_n$ zwei Reihen, sodass $0\le b_n\le a_n$ für fast alle n. Falls $\sum _n{b}_n$ divergent ist, so ist auch die Reihe $\sum _n{a}_n$ divergent.

---

Untersuche man nun, ob das Konvergenzkriterium von Leibniz anwendbar ist. Erleichtern wir uns dies, indem wir die Reihe anders anschreiben...

$\sum _{n\ge 0}(-1{)}^n\cdot \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$

Zu überprüfen ist also gemäß Leibniz die Konvergenz von $\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}=a_n$, wobei $a_0=\frac{1}{\sqrt{0^2+2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Der Verdacht liegt schon nahe, dass sie monoton fallend ist. Wir sehen...

$a_n>a_{n+1}$

$\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}>\frac{1}{\sqrt{(n+1{)}^2+2}}$

$\sqrt{n^2+2n+3}>\sqrt{n^2+2}$

$\cancel{n^2}+2n+3>\cancel{n^2}+2$

$2n>-1$ für alle $n\ge 0$

... dass sie streng monoton fallend ist. Nun zum Beweis, dass es eine Nullfolge ist, durch das Sandwich-Theorem:

$0\le \frac{1}{\sqrt{n^2+2}}\le \frac{1}{\sqrt{n^2}}=\frac{1}{n}\to 0$

Somit greift also das Konvergenzkriterium von Leibniz, und unsere Reihe ist konvergent. Was damit aber noch nicht geklärt ist, ist die absolute Konvergenz. In unserem Falle bedeutet dies, dass ...

$\sum _{n\ge 0}|\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n^2+2}}|=\sum _{n\ge 0}\frac{|(-1{)}^n|}{|\sqrt{n^2+2}|}=\sum _{n\ge 0}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$

Hierbei hilft uns nun das Minorantenkriterium, wobei wir eine Folge $b_n$ finden müssen, sodass $0\le b_n\le a_n$ gilt. Selbstverständlich gilt, dass ...

$\sum _{n\ge 0}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}\ge \frac{1}{\sqrt{2}}+\sum _{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{n^2+2n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sum _{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{3n^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sum _{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{3}n}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sum _{n\ge 1}(\sqrt{3}n{)}^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sum _{n\ge 1}(\sqrt{3}{)}^{-1}{n}^{-1}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\sum _{n\ge 1}\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \underset{harm.R.}{\underbrace{\frac{1}{n}}}$

Schließlich erkennen wir, dass eine harmonische Reihe divergent ist. Gemäß Minorantenkriterium ist somit auch die Folge $\sum _{n\ge 0}\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}$ divergent. Es handelt sich somit um keine absolute Konvergenz, und der Beweis ist abgeschlossen.

---

--Padraig (Diskussion) 11:13, 05. Apr. 2022 (CEST)

Links

• [Diskussion im UE-Forum]

• Ähnliche Beispiele:
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 494
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 495
  • TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 496