TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 390

Sei $\phi :G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus und $N$ ein Normalteiler von $H$. Man zeige, daß dann $U={\phi }^{-1}(N)$ ein Normalteiler von $G$ ist.

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Hilfreiches

Homomorphismus

Homomorphismus

Seien $(G,\circ )$ und $(H,\star )$ Gruppen.

Eine Abbildung $\phi :G\to H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\phi (a\circ b)=\phi (a)\star \phi (b)\mathrm{\forall }a,b\in G$.

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\le G$ heißt Normalteiler, wenn stets die Äquivalenz zwischen der LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) und der RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\mathrm{\forall }a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Links

• Diskussion im UE-Forum

Wikipedia:

• Gruppenhomomorphismus
• Normalteiler
• Faktorgruppe

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