TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 427

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Sei die lineare Abbildung mit .

Bestimmen Sie sowie Rang und verifizieren Sie die Beziehung dim(Kern ) + Rang = dim .

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Abbildung
Lineare Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition:

Seien und Vektorräume über dem Körper .

heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix festgelegt werden, für die gilt:

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Matrix der Abbildung bestimmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

siehe: Beispiel

linear Hülle der Abbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Variante hier ist es sich die Matrix anzusehen, und auf lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren zu prüfen.
Schliesslich kann die Matrix nicht mehr abbilden als die Linearkombinationen ihrer Spaltenvektoren (oder auch Zeilenvektoren)
In unserem Beispiel addiert man zur 1. Spalte -1/3 * 2. Spalte:

So kann man nun als Basis des Vektorraums betrachten, den A aufspannt.



Defekt bestimmen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

siehe Beispiel

Rangformel verifizieren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Die Formel stimmt also