TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 427

Sei $A:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ die lineare Abbildung mit $A\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$.

Bestimmen Sie $A({ℝ}^2)$ sowie Rang $A$ und verifizieren Sie die Beziehung dim(Kern $A$) + Rang $A$ = dim ${ℝ}^2$.

Hilfreiches

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,⊞,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$.

$f:V\to W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

1. $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}\in V:f(\overrightarrow{x}\oplus \overrightarrow{y})=f(\overrightarrow{x})⊞f(\overrightarrow{y})$
2. $\mathrm{\forall }\lambda \in K:f(\lambda \overrightarrow{x})=\lambda f(\overrightarrow{x})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

$\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in V:f(\overrightarrow{x})=M\overrightarrow{x}$

Lösungsvorschlag

Matrix der Abbildung bestimmen

siehe: Beispiel

$M=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{3}& 1\\ \frac{1}{3}& -1\end{array}\right)$

linear Hülle der Abbildung

Eine Variante hier ist es sich die Matrix anzusehen, und auf lineare Abhängigkeit der Spaltenvektoren zu prüfen.
Schliesslich kann die Matrix nicht mehr abbilden als die Linearkombinationen ihrer Spaltenvektoren (oder auch Zeilenvektoren)
In unserem Beispiel addiert man zur 1. Spalte -1/3 * 2. Spalte:

$M^{\prime }=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$

So kann man nun $C=\left\{(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1})\right\}$ als Basis des Vektorraums betrachten, den A aufspannt.

$\Rightarrow A({ℝ}^2)=[C]=\left[(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1})\right]$
$rg(A)=|C|=1$

Defekt bestimmen

siehe Beispiel
$def(A)=dim(kerA)=1$

Rangformel verifizieren

$dim({ℝ}^2)=rg(A)+def(A)$
$2=1+1$

Die Formel stimmt also