TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 435
Sei U die Menge aller -Matrizen B über mit detB = ±1, und G die Menge aller regulären Matrizen A über .
Man zeige, das U Normalteiler von (aus Bsp. 434) ist.
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Eine Gruppe ist
- abgeschlossen bzgl. der Operation in G,
- assoziativ: ,
- beinhaltet ein neutrales Element :
- sowie inverse Elemente: .
Eine Untergruppe heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. . Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe .
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
<br\>
Untergruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Abgeschlossen ist es dann, wenn gilt: <br\> <br\>
Hier kommt uns wieder die Rechenregel für Matrizen zur Hilfe:
Nachdem die Multiplikation von ±1 immer 1 oder -1 ergibt, ist die Gruppe abgeschlossen
Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Untergruppe ist assoziativ.
Beweis siehe TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_367
Inverse Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
, weil lt. Satz 3.52:
In deutsch: Für alle Matrizen A die als Determinante ±1 haben, gilt, dass auch die inversen Matrizen die Determinante ±1 haben. Daher sind auch die inversen Matrizen in U enthalten.
Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
es gilt bekanntlich: <br\>
für die Matrizen also:<br\> beim Punkt "inverse Elemente" bereits bewiesen <br\>
Und jetzt wieder mit der Mulitplikation der Determinanten:
<br\> <br\> auch die Matrix die das neutrale Element repräsentiert hat als Determinante ±1, wodurch sie in der Untergruppe enthalten ist.
Normalteiler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
es gilt:
für unseren Fall:
zwar ist die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ, aber dafür zum Glück müssen wir in dem Fall nur die Determinanten betrachten. Und hier ist die Multiplikation Kommutativ:
Wodurch gezeigt ist, dass die Links und Rechtsnebenklassen übereinstimmen, woraus wiederum folgt, dass es sich um einen Normalteiler handelt.