TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 435

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Sei U die Menge aller -Matrizen B über mit detB = ±1, und G die Menge aller regulären Matrizen A über .

Man zeige, das U Normalteiler von (aus Bsp. 434) ist.

Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gruppe
Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Gruppe ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation in G,
  • assoziativ: ,
  • beinhaltet ein neutrales Element :
  • sowie inverse Elemente: .
Normalteiler
Normalteiler[Bearbeiten, Wikipedia, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. . Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe .

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

<br\>

Untergruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abgeschlossen ist es dann, wenn gilt: <br\> <br\>

Hier kommt uns wieder die Rechenregel für Matrizen zur Hilfe:

Nachdem die Multiplikation von ±1 immer 1 oder -1 ergibt, ist die Gruppe abgeschlossen

Assoziativität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Untergruppe ist assoziativ.

Beweis siehe TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_367

Inverse Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

, weil lt. Satz 3.52:

In deutsch: Für alle Matrizen A die als Determinante ±1 haben, gilt, dass auch die inversen Matrizen die Determinante ±1 haben. Daher sind auch die inversen Matrizen in U enthalten.

Neutrales Element[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

es gilt bekanntlich: <br\>

für die Matrizen also:<br\> beim Punkt "inverse Elemente" bereits bewiesen <br\>

Und jetzt wieder mit der Mulitplikation der Determinanten:

<br\> <br\> auch die Matrix die das neutrale Element repräsentiert hat als Determinante ±1, wodurch sie in der Untergruppe enthalten ist.

Normalteiler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

es gilt:

für unseren Fall:

zwar ist die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ, aber dafür zum Glück müssen wir in dem Fall nur die Determinanten betrachten. Und hier ist die Multiplikation Kommutativ:

Wodurch gezeigt ist, dass die Links und Rechtsnebenklassen übereinstimmen, woraus wiederum folgt, dass es sich um einen Normalteiler handelt.