TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 435

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Sei U die Menge aller n \times n-Matrizen B über \mathbb{R} mit detB = ±1, und G die Menge aller regulären n \times n Matrizen A über \mathbb{R}.

Man zeige, das U Normalteiler von \langle G, \cdot \rangle (aus Bsp. 434) ist.

Hilfreiches[Bearbeiten]

Gruppe[Bearbeiten]

Eine Gruppe (G, \circ) ist

  • abgeschlossen bzgl. der Operation \circ in G,
  • assoziativ: \forall a,b,c\in G:\quad a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c,
  • beinhaltet ein neutrales Element e: \quad\forall a:\quad a\circ e=a
  • sowie inverse Elemente: \forall a\quad\exists a^{-1}:\quad a\circ a^{-1}=e.
Normalteiler[Bearbeiten, WP, 2.58 Definition]

Eine Untergruppe N\leq G heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. aN=Na, \forall a\in G. Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen \{aN \mid a\in G\} bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe G/N.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

G = \{ A \in \mathbb R ^{n \times n}| det(A) \ne 0 \}<br\> U = \{ B \in \mathbb R ^{n \times n}| det(B) \pm 1 \}

Untergruppe[Bearbeiten]

Abgeschlossenheit[Bearbeiten]

Abgeschlossen ist es dann, wenn gilt: <br\> A, B \in U \Rightarrow A \cdot B \in U<br\>

Hier kommt uns wieder die Rechenregel für Matrizen zur Hilfe:

det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B)

Nachdem die Multiplikation von ±1 immer 1 oder -1 ergibt, ist die Gruppe abgeschlossen

Assoziativität[Bearbeiten]

Die Untergruppe ist assoziativ.

Beweis siehe TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_367

Inverse Elemente[Bearbeiten]

\forall A \in U \exists A^{-1} \in U, weil lt. Satz 3.52: det(A^{-1}) = det(A)^{-1} \Rightarrow (\pm 1)^{-1} = \pm 1

In deutsch: Für alle Matrizen A die als Determinante ±1 haben, gilt, dass auch die inversen Matrizen A^{-1} die Determinante ±1 haben. Daher sind auch die inversen Matrizen in U enthalten.

Neutrales Element[Bearbeiten]

es gilt bekanntlich: <br\> a \circ a^{-1} = e

für die Matrizen also:<br\> A, A^{-1} \in U beim Punkt "inverse Elemente" bereits bewiesen <br\> A \cdot A^{-1} = I_n

Und jetzt wieder mit der Mulitplikation der Determinanten:

det(A \cdot B) = det(A) \cdot det(B)<br\> det(A \cdot A^{-1}) = det(A) \cdot det(A^{-1}) = \pm 1 \cdot \pm 1 = \pm 1<br\> \Rightarrow auch die Matrix die das neutrale Element repräsentiert hat als Determinante ±1, wodurch sie in der Untergruppe enthalten ist.

Normalteiler[Bearbeiten]

es gilt:

U \trianglelefteq G \Leftrightarrow a \circ U = U \circ a \qquad \forall a \in G

für unseren Fall:

det(A \cdot U) = det(U \cdot A) \qquad \forall A \in G

zwar ist die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ, aber dafür zum Glück müssen wir in dem Fall nur die Determinanten betrachten. Und hier ist die Multiplikation Kommutativ:

det(A \cdot U) = det(A) \cdot det(U) = det(U) \cdot det(A) = det(U \cdot A)

Wodurch gezeigt ist, dass die Links und Rechtsnebenklassen übereinstimmen, woraus wiederum folgt, dass es sich um einen Normalteiler handelt.