TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 435

Sei U die Menge aller $n\times n$-Matrizen B über $ℝ$ mit detB = ±1, und G die Menge aller regulären $n\times n$ Matrizen A über $ℝ$.

Man zeige, das U Normalteiler von $⟨G,\cdot ⟩$ (aus Bsp. 434) ist.

Hilfreiches

Gruppe

Eine Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• sowie besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\le G$ heißt Normalteiler, wenn stets die Äquivalenz zwischen der LNK (Linksnebenklasse, $a\circ N$) und der RNK (Rechtsnebenklasse, $N\circ a$) gilt, d.h.:

$\mathrm{\forall }a\in G:a\circ N=N\circ a$

Die Menge der Nebenklassen $\{a\circ N\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$.

Lösungsvorschlag

$G=\{A\in {ℝ}^{n\times n}|det(A)\ne 0\}$<br\> $U=\{B\in {ℝ}^{n\times n}|det(B)\pm 1\}$

Untergruppe

Abgeschlossenheit

Abgeschlossen ist es dann, wenn gilt: <br\> $A,B\in U\Rightarrow A\cdot B\in U$<br\>

Hier kommt uns wieder die Rechenregel für Matrizen zur Hilfe:

$det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$

Nachdem die Multiplikation von ±1 immer 1 oder -1 ergibt, ist die Gruppe abgeschlossen

Assoziativität

Die Untergruppe ist assoziativ.

Beweis siehe TU_Wien:Mathematik_1_UE_(diverse)/Übungen_WS07/Beispiel_367

Inverse Elemente

$\mathrm{\forall }A\in U\mathrm{\exists }{A}^{-1}\in U$, weil lt. Satz 3.52: $det(A^{-1})=det(A{)}^{-1}\Rightarrow (\pm 1{)}^{-1}=\pm 1$

In deutsch: Für alle Matrizen A die als Determinante ±1 haben, gilt, dass auch die inversen Matrizen $A^{-1}$ die Determinante ±1 haben. Daher sind auch die inversen Matrizen in U enthalten.

Neutrales Element

es gilt bekanntlich: <br\> $a\circ a^{-1}=e$

für die Matrizen also:<br\> $A,A^{-1}\in U$ beim Punkt "inverse Elemente" bereits bewiesen <br\> $A\cdot A^{-1}=I_n$

Und jetzt wieder mit der Mulitplikation der Determinanten:

$det(A\cdot B)=det(A)\cdot det(B)$<br\> $det(A\cdot A^{-1})=det(A)\cdot det(A^{-1})=\pm 1\cdot \pm 1=\pm 1$<br\> $\Rightarrow$ auch die Matrix die das neutrale Element repräsentiert hat als Determinante ±1, wodurch sie in der Untergruppe enthalten ist.

Normalteiler

es gilt:

$U⊴G\iff a\circ U=U\circ a\mathrm{\forall }a\in G$

für unseren Fall:

$det(A\cdot U)=det(U\cdot A)\mathrm{\forall }A\in G$

zwar ist die Multiplikation von Matrizen nicht kommutativ, aber dafür zum Glück müssen wir in dem Fall nur die Determinanten betrachten. Und hier ist die Multiplikation Kommutativ:

$det(A\cdot U)=det(A)\cdot det(U)=det(U)\cdot det(A)=det(U\cdot A)$

Wodurch gezeigt ist, dass die Links und Rechtsnebenklassen übereinstimmen, woraus wiederum folgt, dass es sich um einen Normalteiler handelt.