TU Wien:Mathematik 1 UE (diverse)/Übungen SS10/Beispiel 72

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 134. Vergleich

Man untersuche, wo die Funktion

$f(x)=\arctan \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}$

differenzierbar ist, und bestimme dort ihre Ableitung $f^{\prime }(x)$.

Lösungsvorschlag

Da die Funktion im Interval (-1, 1] nicht definiert ist, ist sie dort auch nicht differenzierbar.

Die Funktion ist mehrfach geschachtelt: $f(x)=f_1(f_2(f_3(x)))$

$f_1(x)=\arctan x$

$f_2(x)=\sqrt{x}$

$f_3(x)=\frac{x+1}{x-1}$

Die einzelnen Ableitungen sind:

${f_1}^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$

${f_2}^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

${f_3}^{\prime }(x)=\frac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1{)}^2}=\frac{-2}{(x-1{)}^2}$

Zusammengesetzt ergibt das:

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& ={f_1}^{\prime }(f_2(f_3(x)))\cdot {f_2}^{\prime }(f_3(x))\cdot {f_3}^{\prime }(x)\\ & =\frac{1}{1+{\left(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}\right)}^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\cdot \frac{-2}{(x-1{)}^2}\\ & =-\frac{1}{(1+\frac{x+1}{x-1})\cdot (x-1{)}^2\cdot \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\\ & =-\frac{1}{((x-1{)}^2+(x-1)(x+1))\cdot \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\\ & =-\frac{1}{(x^2-2x+1+x^2-1)\cdot \sqrt{\frac{x+1}{x-1}}}\\ & =-\frac{1}{2x(x-1)\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x-1}}}\\ & =-\frac{1}{2x\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}\\ & =-\frac{1}{2x\sqrt{x^2-1}}\end{array}$

Anmerkung von bbernhard1

Die Funktion $arctan(\sqrt{\frac{x+1}{x-1}})$ ist meines Erachtens nur bei x = 1 nicht definiert, da dann $\frac{2}{0}$ dort steht und das bekanntermaßen nicht definiert ist.

Anmerkung von Steve92

Nein, die Funktion ist im gesamten Invervall [-1, 1] nicht differenzierbar. Setzt man für x gleich 0 ein, erhält man $\arctan \sqrt{-}1$, was in der Menge der reellen Zahlen klarerweise nicht lösbar ist. Ähnliches ergibt sich für x = -1.

Anmerkung von Shevin

Für x = -1 ist f definiert. Der Nenner (Anmerkung von ilavicion: Zähler, nicht Nenner!) wird 0, was den gesamten Ausdruck unter der Wurzel 0 werden lässt. f(-1) ist dann 0.

Anmerkung von Mir

Ist der letzte Umformungsschritt (von $\begin{array}{c}\frac{-1}{2x\sqrt{x-1}\sqrt{x+1}}\end{array}$ auf $\begin{array}{c}\frac{-1}{2x\sqrt{x^2-1}}\end{array}$) nicht nur möglich wenn x positiv ist ?

Antwort: (-x)*(-x) = + x^2

Links

Gleiches Beispiel:

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