TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 55

Berechnen Sie mit Hilfe der Lagrangeschen Multiplikatoren den maximalen Wert von $3x+2y$ unter der Nebenbedingung $x+y^{2}=0$

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Theorie

Laut Buch (Satz 6.37, S 247) gilt einfach, dass wenn man mehrere Gleichungen hat, und alle bis auf die erste Null ergeben, man die erste Gleichung f(x) minus Lamda1*g1(x) minus Lamda2*g2(x) minus Lamda3*g3(x) ... und so weiter setzen kann. Die Lamdas kann man benützen um die Extremwerte in der 1. Ableitung auszurechnen. In dem Fall haben wir nur zwei Gleichungen, daher nur ein Lamda. Bitte im Buch anschauen für das exakte Geschwafel.

Lösungsversuch

$F(x,y,\lambda )=3x+2y-\lambda *(x+y^{2})=3x+2y-\lambda *x-\lambda *y^{2}$

Partielle Ableitungen:

$F_{x}=3-\lambda$

$F_{y}=2-2\lambda y$

Null setzen für Extremwerte:

$3-\lambda =0\rightarrow \lambda =3$

$2-2\lambda y=0\rightarrow \lambda ={\frac {1}{y}}$

$\lambda ={\frac {1}{y}}=3\rightarrow {\frac {1}{y}}=3\rightarrow y={\frac {1}{3}}$

$x+y^{2}=0\rightarrow x+({\frac {1}{3}})^{2}=0\rightarrow x=-{\frac {1}{9}}$

$(-{\frac {1}{9}},{\frac {1}{3}})$ ist Extremum!

Links

Diskussion Informatik-Forum WS07 Beispiel 135

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