TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 52

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y''-8y'-9y=0$

(b) $y''+8y'+16y=0$

(c) $y''-8y'+25y=0$

Lösungsvorschlag von fruetschi

Beispiel (a)

$\ y''-8y'-9y=0$

Charakteristische Gleichung: $\ \lambda ^{2}-8\lambda -9=0$

$\ \lambda _{1,2}={\frac {8}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {8}{2}}\right)^{2}+9}}$

$\Rightarrow \ \lambda _{1}=9,\lambda _{2}=-1$

$\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} ,\lambda _{1}\neq \lambda _{2}$

Ansatz: $y(x)=C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}$

$\Rightarrow y(x)=C_{1}e^{9x}+C_{2}e^{-x}$ mit $\ C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Beispiel (b)

$\ y''+8y'+16y=0$

Charakteristische Gleichung: $\ \lambda ^{2}+8\lambda +16=0$

$\ \lambda _{1,2}=-{\frac {8}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {8}{2}}\right)^{2}-16}}=-4$

$\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {R} ,\lambda _{1}=\lambda _{2}$

Ansatz: $y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda _{1}x}$

$\Rightarrow y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{-4x}$ mit $\ C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Beispiel (c)

$\ y''-8y'+25y=0$

Charakteristische Gleichung: $\ \lambda ^{2}-8\lambda +25=0$

$\ \lambda _{1,2}={\frac {8}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {8}{2}}\right)^{2}-25}}$

$\Rightarrow \ \lambda _{1}=4+3i,\lambda _{2}=4-3i$

$\lambda _{1},\lambda _{2}\in \mathbb {C} ,\lambda _{1,2}=\alpha \pm i\beta$

Ansatz: $\ y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$

$\Rightarrow y(x)=e^{4x}(C_{1}cos(3x)+C_{2}sin(3x))$ mit $\ C_{1},C_{2}\in \mathbb {R}$

Links

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