TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS10/Beispiel 52

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y^{″}-8y^{\prime }-9y=0$

(b) $y^{″}+8y^{\prime }+16y=0$

(c) $y^{″}-8y^{\prime }+25y=0$

Lösungsvorschlag von fruetschi

Beispiel (a)

$y^{″}-8y^{\prime }-9y=0$

Charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2-8\lambda -9=0$

${\lambda }_{1,2}=\frac{8}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{8}{2}\right)}^2+9}$

$\Rightarrow {\lambda }_1=9,{\lambda }_2=-1$

${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ,{\lambda }_1\ne {\lambda }_2$

Ansatz: $y(x)=C_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}$

$\Rightarrow y(x)=C_1{e}^{9x}+C_2{e}^{-x}$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Beispiel (b)

$y^{″}+8y^{\prime }+16y=0$

Charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2+8\lambda +16=0$

${\lambda }_{1,2}=-\frac{8}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{8}{2}\right)}^2-16}=-4$

${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℝ,{\lambda }_1={\lambda }_2$

Ansatz: $y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}$

$\Rightarrow y(x)=(C_1+C_{2}x)e^{-4x}$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Beispiel (c)

$y^{″}-8y^{\prime }+25y=0$

Charakteristische Gleichung: ${\lambda }^2-8\lambda +25=0$

${\lambda }_{1,2}=\frac{8}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{8}{2}\right)}^2-25}$

$\Rightarrow {\lambda }_1=4+3i,{\lambda }_2=4-3i$

${\lambda }_1,{\lambda }_2\in ℂ,{\lambda }_{1,2}=\alpha \pm i\beta$

Ansatz: $y(x)=e^{\alpha x}(C_{1}cos(\beta x)+C_{2}sin(\beta x))$

$\Rightarrow y(x)=e^{4x}(C_{1}cos(3x)+C_{2}sin(3x))$ mit $C_1,C_2\in ℝ$

Links

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