TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 66

Es sei $X$ eine poissonverteilte Zufallsgröße mit dem Parameter $\lambda =4$. Man ermittle die

Wahrscheinlichkeiten bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten

a) $P(X=0)$

b) $P(X<4)$

c) $P(X=4)$

d) $P(X>4)$

e) $P(X>3|X>0)$

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

$\begin{array}{cc}\lambda =& g\cdot w\dots \text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}\\ & g\dots \text{Ereignisrate}\\ & w\dots \text{Beobachtungsintervall}\\ \end{array}$

$W(\{i\})=\frac{{\lambda }^i\cdot e^{-\lambda }}{i!}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$P(X=0)=\frac{4^0}{0!}\cdot e^{-4}\approx 1.83\mathrm{\%}$

Beispiel (b)

$P(X<4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\sum _{k=0}^3\frac{4^k}{k!}\cdot e^{-4}\approx 43.35\mathrm{\%}$

Beispiel (c)

$P(X=4)=\frac{4^4}{4!}\cdot e^{-4}\approx 19.54\mathrm{\%}$

Beispiel (d)

$P(X>4)=1-P(X\le 4)=1-\sum _{k=0}^4\frac{4^k}{k!}\cdot e^{-4}\approx 37.12\mathrm{\%}$

Beispiel (e)

$P(X>3|X>0)=\frac{P(X>3\cap X>0)}{P(X>0)}=\frac{P(X>3)}{P(X>0)}=\frac{1-\sum _{k=0}^3\frac{4^k}{k!}\cdot e^{-4}}{1-\frac{4^0}{0!}\cdot e^{-4}}\approx 57.71\mathrm{\%}$