TU Wien:Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorie UE (Stadler)/Übungen SS09/Beispiel 66

Es sei $X$ eine poissonverteilte Zufallsgröße mit dem Parameter $\lambda =4$. Man ermittle die

Wahrscheinlichkeiten bzw. bedingten Wahrscheinlichkeiten

a) $P(X=0)$

b) $P(X<4)$

c) $P(X=4)$

d) $P(X>4)$

e) $P(X>3|X>0)$

Hilfreiches

Poissonverteilung

Poissonverteilung

"Verteilung der seltenen Ereignisse".

Sie nähert, wenn ein großes $n$ und ein kleines $p$ vorliegt, die Binomialverteilung sehr gut an. (Faustregel: $p<.1$ und $n>50$.) In diesem Fall ist $\lambda =n\cdot p$.

${\begin{aligned}\lambda =&g\cdot w\quad \ldots \ {\text{“Parameter” der Verteilung, glz. auch Erwartungswert und Varianz}}\\&g\ldots \ {\text{Ereignisrate}}\\&w\ldots \ {\text{Beobachtungsintervall}}\\\end{aligned}}$

$W(\{i\})={\dfrac {\lambda ^{i}\cdot e^{-\lambda }}{i!}}$

(anm.: in der VO wird $\mu$ statt $\lambda$ verwendet.)

Wikipedia

Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$P(X=0)={\frac {4^{0}}{0!}}\cdot e^{-4}\approx 1.83\%$

Beispiel (b)

$P(X<4)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=\sum _{k=0}^{3}{\frac {4^{k}}{k!}}\cdot e^{-4}\approx 43.35\%$

Beispiel (c)

$P(X=4)={\frac {4^{4}}{4!}}\cdot e^{-4}\approx 19.54\%$

Beispiel (d)

$P(X>4)=1-P(X\leq 4)=1-\sum _{k=0}^{4}{\frac {4^{k}}{k!}}\cdot e^{-4}\approx 37.12\%$

Beispiel (e)

$P(X>3|X>0)={\frac {P(X>3\cap X>0)}{P(X>0)}}={\frac {P(X>3)}{P(X>0)}}={\frac {1-\sum _{k=0}^{3}{\frac {4^{k}}{k!}}\cdot e^{-4}}{1-{\frac {4^{0}}{0!}}\cdot e^{-4}}}\approx 57.71\%$