TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 414

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{0,1\}$ mit der Addition modulo $2$ und dem Produkt $a\cdot b={\overline {0}}$ für alle $a,b\in M$.

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Hilfreiches

Ring

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur $(R,+,\cdot )$ ist ein Ring, wenn:

• $(R,+)$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
• $(R,\cdot )$ ist eine Halbgruppe,
• es gelten die Distributivgesetze:
  • $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
  • $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Ring mit Einselement

• $(R,\cdot )$ besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring

• $(R,\cdot )$ ist kommutativ

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

(Definition 2.66)

• Integritätsring mit multiplikative Inversen

Gruppe

(Definition 2.37)

• Halbgruppe
  • assoziativ
• Monoid
  • assoziativ, neutrales Element
• Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
• abelsche Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element

(Definition 2.34)

• assoziativ
  • $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
• neutrales Element
  • $e\circ a=a\circ e=a$
• inverses Element
  • $a\circ a'=a'\circ a=e$
• kommutativ
  • $a\circ b=b\circ a$

Lösungsvorschlag

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

(R, +)

Jetzt überprüfen wir, ob $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 2!)

Operationstafel:

${\begin{array}{c|cc}+&0&1\\\hline 0&0&1\\1&1&0\\\end{array}}$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$(0\circ 1)\circ 0=0\circ (1\circ 0)$

$1\circ 0=0\circ 1$

$1=1$ w.A.

neutrales Element?

$e\circ a=a\circ e=a$

$e:=0,a:=1$

$0\circ 1=1\circ 0=1$

$1=1=1$ w.A.

inverses Element?

$a\circ a'=a'\circ a=e$

$a:=1,a':=1$

$1\circ 1=1\circ 1=0$

$0=0=0$ w.A.

kommutativ?

$a\circ b=b\circ a$

$a:=0,b:=1$

$0\circ 1=1\circ 0$

$1=1$ w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe

(R, *)

Jetzt müssen wir überprüfen, ob $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:

${\begin{array}{c|cc}\cdot &0&1\\\hline 0&0&0\\1&0&0\\\end{array}}$

Da $a\cdot b=0\forall a,b\in M$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$(0\circ 1)\circ 0=0\circ (1\circ 0)$

$0\circ 0=0\circ 0$

$0=0$ w.A.

Distributivgesetze

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$0\cdot (0+1)=0\cdot 0+0\cdot 1$

$0\cdot 1=0+0$

$0=0$ w.A.

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$(0+0)\cdot 1=0\cdot 1+0\cdot 1$

$0\cdot 1=0+0$

$0=0$ w.A.

Daraus schließen wir, dass es auf jedenfall ein Ring ist. Jetzt können wir überprüfen, ob M ein Integritätsring ist.

Dazu überprüfen wir, ob der Ring ein Einselement hat, sprich $(M,\cdot )$ ein neutrales Element hat.

$e\circ a=a\circ e=a$

für a setzen wir 1 ein:

$e\cdot 1=1\cdot e=1$

Nun gibt es aber kein Element e, für dass die Aussage gilt --> es existiert kein neutrales Element.

Daher kann der Ring kein Integritätsring und auch kein Körper sein.

Lösungsvorschlag Me.Name

Addition siehe oben.

Meiner Meinung nach sollte die Operationstafel der Multiplikation so aussehen:

${\begin{array}{c|cc}\cdot &0&1\\\hline 0&0&0\\1&0&1\\\end{array}}$

Es heißt ja $a\cdot b=0$ und nicht $b\cdot b=0$!

ACHTUNG: EDIT @Ombalat: Die Aussage stimmt nicht. L.t. Angabe gilt $\forall a,b\in M:a\cdot b=0$ Das schließt den Fall a=b mit ein!

Aus dieser Operationstafel folgt nun, dass es ein 1 Element (neutrales Element der Multiplikation) gibt. Folglich mindestens Intigritätsring.

Es geht aber auch hervor, dass 0 kein Inverses besitzt. Deshalb Abbruch => maximal Intigritätsring.

Bleibt noch das Distributivgesetz.

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

$0\cdot (1+1)=0\cdot 1+0\cdot 1$

$0\cdot 0=0+0$

$0=0$

$(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

$(0+1)\cdot 1=0\cdot 1+1\cdot 1$

$1\cdot 1=0+1$

$1=1$

Hier sieht man distributivität gegeben. => Ring => Intigritätsring jedoch kein Körper.

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in $\mathbb {Z} _{6}$ die Beziehung ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle K,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Lösung von Har203

--Har203 21:29, 27. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{0,1\}$ mit der Addition modulo $2$ und dem Produkt $a\cdot b={\overline {0}}$ für alle $a,b\in M$.

Z.z.: $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine abelsche Gruppe:

Wir schauen uns zuerst einmal die Operationstafeln $\mathbf {({+}{\bmod {2}})}$ an:

${\begin{array}{|c|c|}\hline \mathbf {+} &{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\\\hline \end{array}}$

Wir schauen uns jetzt die Operationstafeln $\mathbf {({\cdot }\to {\overline {0}})}$ an:

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \mathbf {\cdot } &{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\\hline {\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\\hline \end{array}}$

Wie aus der Operationstafel der Multiplikation erkennbar ist, gibt es einen Nullteiler: ${\overline {1}}\cdot {\overline {1}}={\overline {0}}$.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden: $a,\,b,\,c\in M$.

Gruppe

Bei $\left\langle M,+\right\rangle$ handelt es sich um eine Gruppe, die zu $\left\langle \mathbb {Z} _{2},+\right\rangle$ isomorph ist: $\left\langle M,+\right\rangle \cong \left\langle \cong \mathbb {Z} _{2},+\right\rangle$. Damit können wir voraussetzen, dass dies eine abelsche, zyklische Gruppe.

1. Assoziativität: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \;:(a+b)+c=a+(b+c)$. $\quad {\color {green}\surd }$
2. Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition: Es gibt ein neutrales Element: ${\overline {0}}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+{\overline {0}}={\overline {0}}+a=a$. $\quad {\color {green}\surd }$
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a={\overline {0}}$. $\quad {\color {green}\surd }$
4. Kommutativität: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,(a+b)=(b+a)$. $\quad {\color {green}\surd }$

$\implies$ Wir haben $\mathbf {\left\langle M,+\right\rangle }$ als abelsche Gruppe mit neutralem Element ${\overline {0}}$.

Ring

Für einen Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element ${\overline {0}}$. $\quad {\color {green}\surd }$
2. $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die beiden Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Die Operationstafel von $(\cdot )$ ist abgeschlossen, da in der Operationstafel nur ein einziges Element ${\overline {0}}\in M$ enthalten ist.

• Assoziativität bezüglich $\cdot$:

$\,\forall \,a,b,c\,\in M\,$ gilt$\colon \,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Egal wie, das Ergebnis ist immer ${\overline {0}}$. Bezüglich der Operation $\cdot$ gilt damit das Assoziativgesetz.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \,(a\cdot b)=(b\cdot a)$.

Da in der Operationstafel nur das Element ${\overline {0}}$ vorkommt, gilt das Kommutativgesetz bezüglich $\mathbf {\cdot }$ natürlich.

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in M.$

• 1.Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$:

Jede Multiplikation liefert das Ergebnis ${\overline {0}}\implies a\cdot (b+c)=({\overline {0}})=a\cdot b+a\cdot c=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}}),\,\forall \,a,\,b,\,c\in M$.

$\implies$ Das $1$.Disributivgesetz gilt in dieser Struktur.

• 2.Distributivgesetz: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$:

Analog zum 1.DG: Jede Multiplikation liefert das Ergebnis ${\overline {0}}\implies (a+b)\cdot c=({\overline {0}})=a\cdot c+b\cdot c=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}}),\,\forall \,a,\,b,\,c\in M$.

$\implies$ Das $2$.Disributivgesetz gilt in dieser Struktur.

Zusätze

• Einselement bezüglich $\cdot$: Es gibt ${\color {red}{\text{kein neutrales Element}}}$ in $M$ bezüglich der Multiplikation.

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt.

$\implies$ Wir haben bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe mit neutralem Element $\left\langle M,+\right\rangle$.

$\implies$ Wir haben bezüglich der Multiplikation eine kommutativen Halbgruppe $\color {red}{\text{ohne Einselement}}$ $\left\langle M,\cdot \right\rangle$. Die beiden Distributivgesetze gelten ebenfalls.

Für einen Integritätsring bzw. für einen Körper fehlt bezüglich der Multiplikation ein Einselement und die Eigenschaft Nullteilerfrei,

Das Gesamtergebnis $\implies$ ${\color {green}\left\langle M,+,\cdot \right\rangle {\text{ ist ein Ring}}}$, aber kein Integritätsring und auch kein Körper. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

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