TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 415

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\}$ mit der Addition modulo $3$ und dem Produkt $a\cdot b={\overline {1}}$ für alle $a,b\in M$.

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{{Beispiel|1=
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Angabetext
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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Anmerkung

Lösung ist von Beispiel 317 übernommen, nur für die etwas geänderte Angabe angepasst

Hilfreiches

Ring

(Definition 2.61)

Eine algebraische Struktur $(R,+,\cdot )$ ist ein Ring, wenn:

• $(R,+)$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
• $(R,\cdot )$ ist eine Halbgruppe,
• es gelten die Distributivgesetze:
  • $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$
  • $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

Ring mit Einselement

• $(R,\cdot )$ besitzt ein neutrales Element (= Monoid)

kommutativer Ring

• $(R,\cdot )$ ist kommutativ

Integritätsring

(Definition 2.64)

• kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler

Körper

(Definition 2.66)

• Integritätsring mit multiplikative Inversen $\forall a\in R$

Gruppe

(Definition 2.37)

• Halbgruppe
  • assoziativ
• Monoid
  • assoziativ, neutrales Element
• Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element
• abelsche Gruppe
  • assoziativ, neutrales Element, inverses Element (Anmerkung: muss auch kommutativ sein oder?)

(Definition 2.34)

• assoziativ
  • $(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$
• neutrales Element
  • $e\circ a=a\circ e=a$
• inverses Element
  • $a\circ a'=a'\circ a=e$
• kommutativ
  • $a\circ b=b\circ a$

Lösungsvorschlag

von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET) angepasst von --MatheFreak 23:12, 15. Dez. 2010 (CET)

Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.

$(M,+)$

Jetzt überprüfen wir, ob $(R,+)$ eine abelsche Gruppe ist.

(Achtung: Addition modulo 3!) *Edit peter1058: von modulo 2 auf modulo 3 geändert --> Angabe!

Operationstafel:

${\begin{array}{c|ccc}+&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}&{\overline {0}}\\{\overline {2}}&{\overline {2}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\end{array}}$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$({\overline {0}}\circ {\overline {1}})\circ {\overline {2}}={\overline {0}}\circ ({\overline {1}}\circ {\overline {2}})$

${\overline {1}}\circ {\overline {2}}={\overline {0}}\circ {\overline {0}}$

${\overline {0}}={\overline {0}}$ w.A.

neutrales Element?

$e\circ a=a\circ e=a$

$e:={\overline {0}},a:={\overline {1}}$

${\overline {0}}\circ {\overline {1}}={\overline {1}}\circ {\overline {0}}={\overline {1}}$

$1=1=1$ w.A.

inverse Elemente?

$a\circ a'=a'\circ a=e$

Null ist neutrale Element und daher automatisch zu sich selbst invers.

$a:={\overline {1}},a':={\overline {2}}$

${\overline {1}}\circ {\overline {2}}={\overline {2}}\circ {\overline {1}}={\overline {0}}$

${\overline {0}}={\overline {0}}={\overline {0}}$ w.A.

$\Rightarrow {\overline {1}}{\text{ ist das inverse zu }}{\overline {2}}{\text{ und }}{\overline {2}}{\text{ ist das Inverse zu }}{\overline {1}}$

$\Rightarrow \exists a^{-1}\forall a\in M$ (zu alle Elementen in M existiert auch ein Inverses)

kommutativ?

$a\circ b=b\circ a$

$a:={\overline {0}},b:={\overline {1}}$

${\overline {0}}\circ {\overline {1}}={\overline {1}}\circ {\overline {0}}$

${\overline {1}}={\overline {1}}$ w.A.

Alle vier Anforderungen erfüllt: $(M,+)$ ist eine abelsche Gruppe

$(M,\cdot )$

Jetzt müssen wir überprüfen, ob $(M,\cdot )$ eine Halbgruppe ist.

Wieder eine Operationstafel:

${\begin{array}{c|ccc}\cdot &{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\{\overline {2}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\\end{array}}$

Da $a\cdot b=1\forall a,b\in M$

Assoziativ?

$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$

$({\overline {0}}\circ {\overline {1}})\circ {\overline {2}}={\overline {0}}\circ ({\overline {1}}\circ {\overline {2}})$

${\overline {1}}\circ {\overline {2}}={\overline {1}}\circ {\overline {2}}$

${\overline {1}}={\overline {1}}$ w.A.

Distributivgesetze

Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

${\overline {0}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {2}})={\overline {0}}\cdot {\overline {1}}+{\overline {0}}\cdot {\overline {2}}$

${\overline {0}}\cdot {\overline {0}}={\overline {1}}+{\overline {1}}$

${\overline {1}}={\overline {2}}$ f.A.

$\Rightarrow$ es ist nicht distributiv, daher kann es kein Ring und in weiterer Folge auch kein Integritätsring oder Körper sein

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in $\mathbb {Z} _{6}$ die Beziehung ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle K,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Lösung von Har203

--Har203 18:41, 28. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{0,1\}$ mit der Addition modulo $2$ und dem Produkt $a\cdot b={\overline {1}}$ für alle $a,b\in M$.

Z.z.: $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine abelsche Gruppe:

Wir schauen uns zuerst einmal die Operationstafeln $\mathbf {({+}{\bmod {2}})}$ an

${\begin{array}{|l|c|c|}\hline \mathbf {+} &{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {0}}\\\hline \end{array}}$

Wir schauen uns jetzt die Operationstafeln $\mathbf {({\cdot }\to {\overline {1}})}$ an

${\begin{array}{|l|c|c|}\hline \mathbf {\cdot } &{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\\hline \end{array}}$

Wie aus der Operationstafel der Multiplikation erkennbar ist, gibt es keine Nullteiler.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden: $a,\,b,\,c\in M$.

Gruppe

Bei $\left\langle M,+\right\rangle$ handelt es sich um eine Gruppe, die zu $\left\langle \mathbb {Z} _{2},+\right\rangle$ isomorph ist: $\left\langle M,+\right\rangle \cong \left\langle \cong \mathbb {Z} _{2},+\right\rangle$. Damit können wir voraussetzen, dass dies eine abelsche, zyklische Gruppe.

1. Assoziativität: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$. $\quad {\color {green}\surd }$
2. Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition: Es gibt ein neutrales Element: ${\overline {0}}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+{\overline {0}}={\overline {0}}+a=a$. $\quad {\color {green}\surd }$
3. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a={\overline {0}}$. $\quad {\color {green}\surd }$
4. Kommutativität: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,(a+b)=(b+a)$. $\quad {\color {green}\surd }$

$\implies$ Wir haben $\mathbf {\left\langle M,+\right\rangle }$ als abelsche Gruppe mit neutralem Element ${\overline {0}}$.

Ring

Für einen Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element ${\overline {0}}$. $\quad {\color {green}\surd }$
2. $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die beiden Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Die Operationstafel von $(\cdot )$ ist abgeschlossen, da in der Operationstafel nur ein einziges Element ${\overline {1}}\in M$ enthalten ist.

• Assoziativität bezüglich $\cdot$:

$\,\forall \,a,b,c\,\in M\,$ gilt$\colon \,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Egal wie, das Ergebnis ist immer ${\overline {1}}$. Bezüglich der Operation $\cdot$ gilt damit das Assoziativgesetz.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \,(a\cdot b)=(b\cdot a)$.

Da in der Operationstafel nur das Element ${\overline {1}}$ vorkommt, gilt das Kommutativgesetz bezüglich $\mathbf {\cdot }$ natürlich.

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in M.$

• 1.Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$:

Jede Multiplikation liefert das Ergebnis ${\overline {1}}\implies a\cdot (b+c)={\color {red}{\overline {1}}}=(a\cdot b)+(a\cdot c)=({\overline {1}})+({\overline {1}})={\color {red}{\overline {0}}}\neq {\color {red}{\overline {1}}},\,\forall \,a,\,b,\,c\in M$.

$\implies$ Das ${\color {red}1.{\text{ Distributivgesetz}}}$ gilt in dieser Struktur nicht.

• 2. Distributivgesetz: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$:

Analog zum 1. DG: Jede Multiplikation liefert das Ergebnis ${\overline {1}}\implies (a+b)\cdot c={\color {red}{\overline {1}}}=(a\cdot c)+(b\cdot c)=({\overline {1}})+({\overline {1}})={\color {red}{\overline {0}}}\neq {\color {red}{\overline {1}}},\,\forall \,a,\,b,\,c\in M$.

$\implies$ Das ${\color {red}2.{\text{ Distributivgesetz}}}$ gilt in dieser Struktur nicht.

Zusätze

• Einselement bezüglich $\cdot$: Es gibt ${\color {red}{\text{kein Einselement}}}$ in $M$ bezüglich der Multiplikation.

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt.

$\implies$ $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element ${\overline {0}}$.

$\implies$ $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine kommutative Halbgruppe $\color {red}{\text{ohne Einselement}}$. Die beiden Distributivgesetze gelten nicht.

Das Gesamtergebnis $\implies$ ${\color {red}\left\langle M,+,\cdot \right\rangle }$ ist weder ein Ring, noch ein Integritätsring und auch kein Körper. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

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