TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 416

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {5} }}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

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Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {5}})+(y+z*{\sqrt {5}})=(w+y)+(x+z)*{\sqrt {5}}$

w + y $\in \mathbb {Q}$, x + z $\in \mathbb {Q} \qquad \Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

${\begin{aligned}a\circ (b\circ c)&=(a\circ b)\circ c\\\end{aligned}}$

• $a=(u+v*{\sqrt {5}})$
• $b=(w+x*{\sqrt {5}})$
• $c=(y+z*{\sqrt {5}})$

${\begin{aligned}(u+v*{\sqrt {5}})+((w+x*{\sqrt {5}})+(y+z*{\sqrt {5}}))&=((u+v*{\sqrt {5}}+(w+x*{\sqrt {5}}))+(y+z*{\sqrt {5}})\\(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {5}}&=(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {5}}\end{aligned}}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Nullelement)

$e=0+0*{\sqrt {5}}=0$

Inverses Element

$(x+y*{\sqrt {5}})'=(-x)+(-y)*{\sqrt {5}}$

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {5}})*(y+z*{\sqrt {5}})=w*y+w*z*{\sqrt {5}}+y*x*{\sqrt {5}}+5*x*z=\underbrace {(w*y+5*x*z)} _{\in \mathbb {Q} }+\underbrace {((w*z+y*x)} _{\in \mathbb {Q} }*{\sqrt {5}})$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e=1+0*{\sqrt {5}}$

Inverses Element

${\begin{aligned}(x+y*{\sqrt {5}})*(x'+y'*{\sqrt {5}})&=1+0*{\sqrt {5}}\\x'+y'*{\sqrt {5}}&={\frac {1+0*{\sqrt {5}}}{x+y*{\sqrt {5}}}}\\x'+y'*{\sqrt {5}}&={\frac {(1+0*{\sqrt {5}})*(x-y*{\sqrt {5}})}{x^{2}-5*y^{2}}}\\\end{aligned}}$

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

${\begin{aligned}x^{2}&=5*y^{2}\\x&=\pm {\sqrt {5}}*y\\\end{aligned}}$

und dies ist unmöglich, da x ein Element der rationalen Zahlen ist

Anmerkung Käßknöpfle: $x^{2}=5*y^{2}$ kann nicht stimmen da ansonnsten $x^{2}-5*y^{2}=0$ wäre und das ist bei einer Division nicht möglich. Daher ist diese Annahme falsch!

Daher wurde nur durch das bewiesen das es kein Multiplikatives Invers von 0 gibt.

Es reicht zz das $x'+y'*{\sqrt {5}}={\frac {x-y{\sqrt {5}}}{x^{2}-y^{2}*5}}={\frac {x}{x^{2}-y^{2}*5}}-{\frac {y}{x^{2}-y^{2}*5}}*{\sqrt {5}}$ hier sind jeweils beide Teile wieder in Q. => Es gibt ein Inverses Element für alle x & y, welche nicht 0 sind. (Wichtig für Begründung für Körper)

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Anmerkung Jan: Wie kann eine Abelsche Gruppe vorliegen wenn es laut der Lösung gar kein inverses Element gibt? Müsste es sich hierbei nicht um ein kommutatives Monoid handeln?

Anmerkung Käßknöpfle: Wie Jan richtig sagt handelt es sich um ein kommutativen Monoid.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $\langle M,+,*\rangle$ vor.

Anmerkung Jan: Um nachzuweisen dass es sich um einen Ring handelt muss gezeigt werden dass die Distributivgesetze für die Struktur gelten, dies ist im vorliegenden Lösungsweg aber nicht erfolgt. Um in einem zweiten Schritt nachzuweisen dass es sich um einen Körper handelt, müssen alle Elemente der Struktur eine Einheit sein, also ein multiplikativ inveses besitzen; auch dies ist im vorliegenden Lösungsweg nicht erfolgt.

Anmerkung neo: Es handelt sich um einen kommutativen Monoid bezüglich der Multiplikation. Des Weiteren ist, nach meinem Lösungsweg, die gesamte Struktur ein Integritätsring. $(M,+)$ ist eine abelsche Gruppe und $(M,*)$ ein kommutativer Monoid d.h der Ring ist daher ein kommutativer Ring mit Einselement. Da eine Multiplikation nur $0$ ergibt, wenn einer der Faktoren $0$ ist, gibt es hier eine Nullteilerfreiheit und daher ist $(M,+,*)$ ein Integritätsring.

Anmerkung Käßknöpfle: Es ist ein kommutativer Ring, da (M,+) eine kommutative Gruppe mit neutralem Element 0. (M,*) ist eine kommutativer Monoid. => Somit ist eis ein kommutativer Ring mit Einselent. Desweiteren ist die Definition eines Körpers gegeben. (M,+,*) hat ein Einselement mit $1\not =0$ und jedes $a\neq 0$ eine Einheit (multiplikatives Invers).

Anmerkung von BarFoos

Ich würde die Existenz eines neutralen Elements nicht so trivial angeben. Per Def. muss ein neutrales Element folgendes erfüllen: $a\circ e=e\circ a=a$. Das heißt:

$a+e=e+a=a$

$(a+b{\sqrt {5}})+e=(a+b{\sqrt {5}})$ mit $a,b\in \mathbb {Q}$ (per Def.)

$e=0$

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in $\mathbb {Z} _{6}$ die Beziehung ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle K,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Beweis Wurzel 5 irrational

Beweis ${\sqrt {5}}\notin \mathbb {Q}$: Wir nehmen an, dass der Ausdruck ${\sqrt {5}}$ rational ist und stellen diesen in der bekannten Form der rationalen Zahlen dar, wobei der Bruch in gekürzter Form sein soll, also sind $\mathbf {p,q}$ teilerfremd, also $\,p\perp q\,$.

${\begin{alignedat}{1}&{\sqrt {5}}={\frac {p}{q}}\quad \vert \,(.)^{2}\implies 5={\frac {p^{2}}{q^{2}}}\quad \vert \,\cdot \,q^{2}&\implies {\color {red}5}\cdot q^{2}=p^{2}&\implies 5\mid {p^{2}}&\implies 5\mid {p}&\implies \,\exists \,o\in \mathbb {N} \colon \,o={\frac {p}{5}}&\implies p=5\cdot o\\&\implies {\color {red}5}\cdot q^{2}=p^{2}=(5\cdot o)^{2}\quad \vert (:5)&\implies q^{2}=5\cdot o^{2}&\implies 5\mid {q^{2}}&\implies 5\mid {q}&\implies \,\exists \,r\in \mathbb {N} \colon \,r={\frac {q}{5}}&\implies q=5\cdot r&\implies {\frac {p}{q}}=&{\frac {5\cdot o}{5\cdot r}}.\end{alignedat}}$

$\implies$ Widerspruch zur Annahme, dass $p,q$ teilerfremd sind, also liegt ${\frac {p}{q}}$ nicht in gekürzter Form vor.

Lösung von Har203

--Har203 19:43, 26. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {5}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {5} }}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Zuerst einmal einige Grundgedanken. Wenn wir uns eine Zahl in der Form $a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\,$ anschauen, dann hätten wir gerne, dass der eine Teil ein rein rationaler Anteil $a_{i}\in \mathbb {Q}$ ist und der zweite Teil ein rein irrationaler Teil $(a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\in (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{0\}$ ist. Dieses Verhalten wird durch die Wurzel ${\sqrt {5}}\,$ bestimmt.

Grundsätzlich geht es später darum, ob das Produkt bezüglich $\mathbf {\cdot }$ den Wert $\mathbf {0_{M}}$ annehmen kann, auch wenn $a,\,b\in M$, aber beide ungleich $0_{M}$ sind (Nullteiler).

• Den Beweis für $\mathbf {{\sqrt {5}}\notin \mathbb {Q} }$ habe ich oben in den Hilfsmitteln eingefügt.

D.h. wir haben wirklich einen rein rationalen Anteil $(a_{i})$ und einen rein irrationalen Anteil $(a_{w}\cdot {\sqrt {5}})$. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $\{0\}$.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden

$a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}),\quad b=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}}),\quad c=(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {5}})\quad$ mit $a_{i},a_{w},b_{i},b_{w},c_{i},c_{w}\in \mathbb {Q} \implies a,b,c\in M$.

Gruppe

Zuerst die Gruppe mit den geforderten Gruppenaxiomen in $\left\langle M,+\right\rangle$:

1. Abgeschlossen: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \;(a+b)\in M$.
2. Assoziativität: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$.
3. Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition: Es gibt ein neutrales Element: $0_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+0_{M}=0_{M}+a=a$.
4. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a=0_{M}$.
5. Kommutativität: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,(a+b)=(b+a)$

• Abgeschlossenheit bezüglich +: Wir prüfen zuerst die Abgeschlossenheit von $\left\langle M,+\right\rangle$:

$a+b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})=(a_{i}+b_{i})+(a_{w}+b_{w})\cdot {\sqrt {5}})\quad \,$ mit $(a_{i}+b_{i})$ und $(a_{w}+b_{w})\in \mathbb {Q}$.

D.h. die Summe einer Addition in $M$ ist wieder in der Struktur von $M$ enthalten $\implies$ die Struktur $\left\langle M,\mathbf {+} \right\rangle$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {+}$:

$\,\forall \,a,b,c\,\in M\,$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$

Da wir mit der Addition aus $\mathbb {R}$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf {+}$. Wir können natürlich auch nachrechnen (bei der Addition noch einfach):

$(a+b)+c=((a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}}))+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {5}})=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+((b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {5}}))=a+(b+c)$.

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich $\mathbf {+}$: Es gibt ein neutrales Element $0_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+0_{M}=0_{M}+a=a$.

Wir nehmen an, dass das neutrale Element bezüglich der Addition $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {5}})\in M$ sein wird:

${\begin{alignedat}{1}&{\color {green}a+0_{M}}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+(0+0\cdot {\sqrt {5}})=((a_{i}+0)+(a_{w}+0)\cdot {\sqrt {5}})=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})=\\&={\color {green}a}=((0+a_{i})+(0+a_{w})\cdot {\sqrt {5}})=(0+0\cdot {\sqrt {5}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})={\color {green}0_{M}+a}.\end{alignedat}}$

D.h. das neutrale Element bezüglich $\mathbf {+}$ ist $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {5}})\in M$.

• Inverse Element: Für alle Elemente $a\in \left\langle M,+\right\rangle$ existiert ein inverses Element:

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a=0_{M}$.

Das Inverse Element von $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})$ wird $(-a)=((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {5}})$ sein:

${\begin{alignedat}{1}&{\color {green}a+(-a)}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {5}})=((a_{i}+(-a_{i}))+(a_{w}+(-a_{w}))\cdot {\sqrt {5}})={\color {green}(0+0\cdot {\sqrt {5}})}=\\&{\color {green}0_{M}}=(((-a_{i})+a_{i})+(((-a_{w})+a_{w})\cdot {\sqrt {5}}))=(((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {5}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}))={\color {green}(-a)+a}.\end{alignedat}}$

D.h. das inverse Element zu $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})$ bezüglich $\mathbf {+}$ ist $(-a)=((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {5}})\in M$.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {+}$: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \,a+b=b+a)$.

Da die Addition in $\mathbb {R}$ kommutativ ist, folgt daraus, dass $\left\langle M,+\right\rangle$ kommutativ ist.

$a+b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})=b+a$.

$\implies$ Wir haben gezeigt, dass $\mathbf {\left\langle M,+\right\rangle }$ eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (abelsche Gruppe) ist.

Ring

Für einen Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element $0$), $\qquad {\color {green}\surd }$
2. $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die beiden Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Zuerst prüfen wir die Abgeschlossenheit von $\left\langle M,\cdot \right\rangle$:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot b&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})=(a_{i}\cdot b_{i}+5\cdot (a_{w}\cdot b_{w}))+(a_{w}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w})\cdot {\sqrt {5}}.\end{alignedat}}$

$\implies$ Es gilt: $(a_{i}\cdot b_{i}+5\cdot a_{w}\cdot b_{w})\in \mathbb {Q} \quad$ und $\quad (a_{w}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w})\in \mathbb {Q} \implies a\cdot b\in M$.

D.h. das Produkt einer Multiplikation ist wieder in der Struktur $M$ enthalten $\implies \left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Da wir mit der Multiplikation aus $\mathbb {R}$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$.

Wir können natürlich auch nachrechnen: die linke Seite und die rechte gehen analog:

${\begin{alignedat}{1}&{\text{LS}}\,\colon \;(a\cdot b)\cdot c=((a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}}))\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {5}})=\\&(a_{i}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {5}}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {5}})=\\&(a_{i}\cdot b_{i}\cdot c_{i}+5\cdot a_{w}\cdot b_{w}\cdot c_{i}+5\cdot a_{w}\cdot b_{i}\cdot c_{w}+5\cdot a_{i}\cdot b_{w}\cdot c_{w})+\\&(a_{w}\cdot b_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{i}\cdot c_{w}+5\cdot a_{w}\cdot b_{w}\cdot c_{w})\cdot {\sqrt {5}}\end{alignedat}}$

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,a\cdot b=b\cdot a$:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})={\text{ KG in }}\mathbb {R} =(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})=b\cdot a.\end{alignedat}}$

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in M.$

Natürlich gilt hier mit der Addition und Multiplikation in $\mathbb {R}$ das 1. und das 2. Distributivgesetz.

Die lange Variante:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot (b+c)=\\&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot ((b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {5}}))=\\&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {5}}))=\\&=a_{i}\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {5}})+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {5}})=\\&=a_{i}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {5}}+a_{i}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {5}}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot b_{i}+\\&\quad +a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot c_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {5}}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {5}}=\\&=a_{i}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {5}}+a_{i}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {5}}+\\&\quad +a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot c_{i}+5\cdot a_{w}\cdot b_{w}+5\cdot a_{w}\cdot c_{w}=\\&=b_{i}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+b_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {5}}+5\cdot a_{w})+c_{i}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+c_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {5}}+5\cdot a_{w})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {5}}+5\cdot a_{w})+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {5}}+5\cdot a_{w})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot a+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot a=\\&=a\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})+a\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {5}})=\\&=a\cdot b+a\cdot c\end{alignedat}}$

• Für den zweiten Teil $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ nützen wir die kommutative Eigenschaften der Multiplikation aus

$(a+b)\cdot c=c\cdot (a+b){\text{ wie oben bewiesen gilt das 1. Distributivgesetz }}=c\cdot a+c\cdot b=a\cdot c+b\cdot c$.

Zusätze

• Einselement bezüglich $\mathbf {\cdot }$: Gibt es ein neutrales Element $1_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a\cdot 1_{M}=1_{M}\cdot a=a$.

Wir nehmen an, dass das Einselement von $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ folgend aussieht: $1_{M}=(1+0\cdot {\sqrt {5}})$.

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot 1_{M}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (1+0\cdot {\sqrt {5}})=a_{i}\cdot 1+a_{w}\cdot {\sqrt {5}}\cdot 1+0+0=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})=\\&=a=1\cdot a_{i}+1\cdot a_{w}\cdot {\sqrt {5}}+0+0=(1+0\cdot {\sqrt {5}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})=1_{M}\cdot a\end{alignedat}}$

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt und verwendet.

$\implies$ Wir haben einen kommutativen Ring mit Einselement

Integritätsring

Ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler heißt Integritätsring.

• Nullteiler: Man nennt ein Element $a\neq 0_{M}$ eines Ringes $M$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0_{M}$ aus $M$ gibt, so dass $a\cdot b=0_{M}$ oder $b\cdot a=0_{M}$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. D.h ein Nullteiler wäre $a\cdot b=0_{M}\,$, obwohl beide Elemente $a,b\in M$ ungleich $0_{M}$ sind.

Wir haben oben bereits bewiesen, dass wir einen rein rationalen Anteil $a_{i}$ und einen rein irrationalen Anteil $(a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\,$ (bis auf $a_{w}=0$) haben. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $0$.

Die Grundfrage ist, in welchen Formen kann ich das Produkt zweier Zahlen $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\,$ und $b=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})\,$, also $a\cdot b$ darstellen, um die Zahl $\mathbf {0_{M}}$ (das neutrale Element bezüglich der Addition als Produkt zu erhalten. Da wir hier eine saubere Aufteilung in $a_{i}\in \mathbb {Q}$ und $(a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\in (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{0\}$ haben und es nur einen Schnittpunkt, die $\mathbf {0}$ gibt, ist die einzige Darstellung von $0_{M}$, wenn $a_{i}=0$ und $a_{w}=0$ sind. D.h. es gibt keine Nullteiler.

Beispiel Nullteiler

Ein Beispiel für Nullteiler mit einer anderen Wurzel (${\sqrt {4}}\,$) mit $d=(1-0.5\cdot {\sqrt {4}}\,),\,(e_{i}+e_{w}\cdot {\sqrt {4}}\,){\text{ beliebig }}\in \mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {4}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {4} \,}}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ folgt. Hier können wir eine Auslöschung ($(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {4}}\,)=0_{M}$) des ersten rationalen Teils mit dem zweiten Wurzelteil erzielen. Bei der Multiplikation in $\mathbb {R}$ ist bekannt, dass $\,d\cdot e=0\iff d=0\,\lor \,e=0\quad \implies$

$d\cdot e=(1-0.5\cdot {\sqrt {4}}\,)\cdot e=(1-1)\,\cdot e=0\cdot e=\mathbf {0_{M}}$

D.h. obwohl $d=(1-0.5\cdot {\sqrt {4}})\neq 0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {4}})$ ist, ist das Produkt $d\cdot e=0_{M}$. D.h. die beiden Elemente $d,\,e$ sind beide Nullteiler.

$\implies$ Zurück zur Aufgabe: Jetzt wissen wir bereits, dass $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ ein Integritätsring ist

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1_{M}\neq 0_{M}$, in dem jedes Element $a\neq 0_{M}$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Wir werden noch das inverse Element zu einem beliebigen Element $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})$ berechnen. Es muss gelten $a\cdot a^{-1}=1_{M}=(1+0\cdot {\sqrt {5}})$:

${\begin{alignedat}{1}&1=a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})=(a_{i}\cdot b_{i}+5\cdot a_{w}\cdot b_{w})+(a_{i}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i})\cdot {\sqrt {5}}\implies \\[1ex]&\implies {\text{es muss gelten }}\colon \,a_{i}\cdot b_{i}+5\cdot a_{w}\cdot b_{w}=1\quad \land \quad (a_{i}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i})=0\implies \\[1ex]&\implies b_{w}={\frac {-a_{w}\cdot b_{i}}{a_{i}}}\quad (a_{i}\neq 0)\quad \land \quad a_{i}\cdot b_{i}+5\cdot a_{w}\cdot {\frac {-a_{w}\cdot b_{i}}{a_{i}}}=1\implies \\[1ex]&\implies b_{i}\cdot {\frac {a_{i}^{2}+5\cdot a_{w}\cdot (-a_{w})}{a_{i}}}=1\implies {\color {green}{b_{i}={\frac {a_{i}}{a_{i}^{2}-5\cdot a_{w}^{2}}}}}\quad \land \quad {\color {green}b_{w}={\frac {-a_{w}}{a_{i}^{2}-5\cdot a_{w}^{2}}}}\end{alignedat}}$

Sonderfälle $a_{i}=0$ und $a_{i}^{2}-5\cdot a_{w}^{2}=0$ (wir haben oben durch $a_{i}$ und $a_{i}^{2}-5\cdot a_{w}^{2}\,$ dividiert)

$(x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y))\implies a_{i}^{2}-5\cdot a_{w}^{2}=(a_{i}-a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})$:

• $a_{i}=0\,,$

${\begin{alignedat}{1}&1=a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {5}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {5}})=5\cdot a_{w}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i}\cdot {\sqrt {5}}\implies \\&\implies {\text{es muss gelten }}\colon \,5\cdot a_{w}\cdot b_{w}=1\quad \land \quad a_{w}\cdot b_{i}\cdot {\sqrt {5}}=0\\&\implies \quad {\color {green}b_{i}=0={\frac {a_{i}}{a_{i}^{2}-5\cdot a_{w}^{2}}}}\quad \land \quad {\color {green}b_{w}={\frac {1}{5\cdot a_{w}}}={\frac {-a_{w}}{a_{i}^{2}-5\cdot a_{w}^{2}}}}\end{alignedat}}$

• ${\color {green}a_{i}\mathbf {-} a_{w}\cdot {\sqrt {5}}}=0\,,$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist irrational $\implies$ der Ausdruck kann nur bei $a_{i}=a_{w}=0$ den Wert $0_{M}$ annehmen $\implies a_{i}=0$.
• ${\color {green}a_{i}\mathbf {+} a_{w}\cdot {\sqrt {5}}}=0\,,$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist irrational $\implies$ der Ausdruck kann nur bei $a_{i}=a_{w}=0$ den Wert $0_{M}$ annehmen $\implies a_{i}=0$.

Probe

${\begin{alignedat}{1}&a&=(2+3\cdot {\sqrt {5}}),\quad \,&b=(-2/41+3/41\cdot {\sqrt {5}}),\quad &a\cdot b=(-4/41+45/41)+(-6/41+6/41)\cdot {\sqrt {5}}=(1+0\cdot {\sqrt {5}})=\mathbf {\color {green}1} \\&a&=(0+3\cdot {\sqrt {5}}),\quad \,&b=(0+{\frac {1}{15}})\cdot {\sqrt {5}},\quad &a\cdot b=(3\cdot {\sqrt {5}}\cdot {\frac {1}{15}}\cdot {\sqrt {5}})={\frac {15}{15}}=(1+0\cdot {\sqrt {5}})=\mathbf {\color {green}1} \end{alignedat}}$

Gesamtergebnis $\implies$ $\mathbf {\color {green}\left\langle M,+,\cdot \right\rangle }$ ist ein Körper. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

Link auf PDF-Datei mit Lösungen von Beispielen:

• PDF linalg_021

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