TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 418

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {7} }}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

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}}

Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {7}})+(y+z*{\sqrt {7}})=(w+y)+(x+z)*{\sqrt {7}})$

w + y $\in \mathbb {Q}$, x + z $\in \mathbb {Q} \qquad \Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

${\begin{aligned}a\circ (b\circ c)&=(a\circ b)\circ c\\\end{aligned}}$

• $a=(u+v*{\sqrt {7}})$
• $b=(w+x*{\sqrt {7}})$
• $c=(y+z*{\sqrt {7}})$

${\begin{aligned}(u+v*{\sqrt {7}})+((w+x*{\sqrt {7}})+(y+z*{\sqrt {7}}))&=((u+v*{\sqrt {7}})+(w+x*{\sqrt {7}}))+(y+z*{\sqrt {7}})\\(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {7}}&=(u+w+y)+(v+x+z)*{\sqrt {7}}\end{aligned}}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)

$e=0+0*{\sqrt {7}}=0$

Inverses Element

$(x+y*{\sqrt {7}})'=(-x)+(-y)*{\sqrt {7}}$

Kommutativität

trivial

Okay Gitti

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w+x*{\sqrt {7}})*(y+z*{\sqrt {7}})=w*y+w*z*{\sqrt {7}}+y*x*{\sqrt {7}}+7*x*z=\underbrace {(w*y+7*x*z)} _{\in \mathbb {Q} }+\underbrace {(w*z+y*x)} _{\in \mathbb {Q} }*{\sqrt {7}}$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e=1+0*{\sqrt {7}}$

Inverses Element

${\begin{aligned}(x+y*{\sqrt {7}})*(x'+y'*{\sqrt {7}})&=1+0*{\sqrt {7}}\\x'+y'*{\sqrt {7}}&={\frac {1}{x+y*{\sqrt {7}}}}\\x'+y'*{\sqrt {7}}&={\frac {1}{x+y*{\sqrt {7}}}}*{\frac {x-y*{\sqrt {7}}}{x-y*{\sqrt {7}}}}\\x'+y'*{\sqrt {7}}&={\frac {x-y*{\sqrt {7}}}{x^{2}-7*y^{2}}}\\x'+y'*{\sqrt {7}}&={\frac {x}{x^{2}-7*y^{2}}}-{\frac {y}{x^{2}-7*y^{2}}}*{\sqrt {7}}\\\end{aligned}}$

Da x' und y' aus Q sind, muss $x'={\frac {x}{x^{2}-7*y^{2}}}$ und $y'=-{\frac {y}{x^{2}-7*y^{2}}}$ gelten. Somit sind x' und y' festgestellt, und jedes element aus M hat ein Inverses, ausser $0+0*{\sqrt {7}}$ was genug ist, damit M Körper genannt werden kann.

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

${\begin{aligned}x^{2}&=7*y^{2}\\x&=\pm {\sqrt {7}}*y\\\end{aligned}}$

Anmerkung:
$0\in M$ da,
$0+0*{\sqrt {7}}$
0 hat jedoch kein inverses Element in $\langle M,*\rangle$
!Die existenz eines inversen Elements von $\langle M,*\rangle$ bezüglich $\langle M,+,*\rangle$ ist KEINE Vorraussetzung für einen Körper. Siehe S.82 in Drmotas "Mathematik für Informatik" (ISBN 9783885381174), nach der Definition 2.66: "Eine algebraische Struktur (K,+,*) ist also genau dann ein Körper, wenn (K,+) und (K\{0},*),*) kommutative Gruppen sind und die Distributivgesetze gelten." --Irfy 03:24, 14. Jan. 2010 (CET)

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $\langle M,+,*\rangle$ vor.

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in $\mathbb {Z} _{6}$ die Beziehung ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle K,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Beweis Wurzel 7 irrational

Beweis ${\sqrt {7}}\notin \mathbb {Q}$: Wir nehmen an, dass der Ausdruck ${\sqrt {7}}$ rational ist und stellen diesen in der bekannten Form der rationalen Zahlen dar, wobei der Bruch in gekürzter Form sein soll, also sind $\mathbf {p,q}$ teilerfremd, also $\,p\perp q\,$.

${\begin{alignedat}{1}&{\sqrt {7}}={\frac {p}{q}}\quad \vert \,(.)^{2}\implies 7={\frac {p^{2}}{q^{2}}}\quad \vert \,\cdot \,q^{2}&\implies {\color {red}7}\cdot q^{2}=p^{2}&\implies 7\mid {p^{2}}&\implies 7\mid {p}&\implies \,\exists \,o\in \mathbb {N} \colon \,o={\frac {p}{7}}&\implies p=7\cdot o\\&\implies {\color {red}7}\cdot q^{2}=p^{2}=(7\cdot o)^{2}\quad \vert (:7)&\implies q^{2}=7\cdot o^{2}&\implies 7\mid {q^{2}}&\implies 7\mid {q}&\implies \,\exists \,r\in \mathbb {N} \colon \,r={\frac {q}{7}}&\implies q=7\cdot r&\implies {\frac {p}{q}}=&{\frac {7\cdot o}{7\cdot r}}.\end{alignedat}}$

$\implies$ Widerspruch zur Annahme, dass $p,q$ teilerfremd sind, also liegt ${\frac {p}{q}}$ nicht in gekürzter Form vor.

Lösung von Har203

--Har203 20:22, 26. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {7}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {7} }}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Zuerst einmal einige Grundgedanken. Wenn wir uns eine Zahl in der Form $a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\,$ anschauen, dann hätten wir gerne, dass der eine Teil ein rein rationaler Anteil $a_{i}\in \mathbb {Q}$ ist und der zweite Teil ein rein irrationaler Teil $(a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\in (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{0\}$ ist. Dieses Verhalten wird durch die Wurzel ${\sqrt {7}}\,$ bestimmt.

Grundsätzlich geht es später darum, ob das Produkt bezüglich $\mathbf {\cdot }$ den Wert $\mathbf {0_{M}}$ annehmen kann, auch wenn $a,\,b\in M$, aber beide ungleich $0_{M}$ sind (Nullteiler).

• Den Beweis für $\mathbf {{\sqrt {7}}\notin \mathbb {Q} }$ habe ich oben in den Hilfsmitteln eingefügt.

D.h. wir haben wirklich einen rein rationalen Anteil $(a_{i})$ und einen rein irrationalen Anteil $(a_{w}\cdot {\sqrt {7}})$. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $0$.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden:

$a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}),\quad b=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}}),\quad c=(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {7}})\quad$ mit $a_{i},a_{w},b_{i},b_{w},c_{i},c_{w}\in \mathbb {Q} \implies a,b,c\in M$.

Gruppe

Zuerst die Gruppe mit den geforderten Gruppenaxiomen in $\left\langle M,+\right\rangle$:

1. Abgeschlossen: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \,(a+b)\in M$.
2. Assoziativität: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$.
3. Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition: Es gibt ein neutrales Element: $0_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+0_{M}=0_{M}+a=a$.
4. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \;a+(-a)=(-a)+a=0_{M}$.
5. Kommutativität: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,(a+b)=(b+a)$

• Abgeschlossenheit bezüglich $\mathbf {+}$: Wir prüfen zuerst die Abgeschlossenheit von $\left\langle M,+\right\rangle$:

$a+b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})=(a_{i}+b_{i})+(a_{w}+b_{w})\cdot {\sqrt {7}}\quad \,$ mit $(a_{i}+b_{i})$ und $(a_{w}+b_{w})\in \mathbb {Q}$.

D.h. die Summe einer Addition in $M$ ist wieder in der Struktur von $M$ enthalten $\implies$ die Struktur $\left\langle M,\mathbf {+} \right\rangle$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {+}$:

$\,\forall \,a,b,c\,\in M\,$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$

Da wir mit der Addition aus $\mathbb {R}$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf {+}$. Wir können natürlich auch nachrechnen (bei der Addition noch einfach):

$(a+b)+c=((a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}}))+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {7}})=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+((b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {7}}))=a+(b+c)$.

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich $\mathbf {+}$: Es gibt ein neutrales Element $0_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+0_{M}=0_{M}+a=a$.

Wir nehmen an, dass das neutrale Element bezüglich der Addition $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {7}})\in M$ sein wird:

${\begin{alignedat}{1}&{\color {green}a+0_{M}}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+(0+0\cdot {\sqrt {7}})=((a_{i}+0)+(a_{w}+0)\cdot {\sqrt {7}})=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})=\\&={\color {green}a}=((0+a_{i})+(0+a_{w})\cdot {\sqrt {7}})=(0+0\cdot {\sqrt {7}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})={\color {green}0_{M}+a}.\end{alignedat}}$

D.h. das neutrale Element bezüglich + ist $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {7}})\in M$.

• Inverse Element: Für alle Elemente $a\in \left\langle M,+\right\rangle$ existiert ein inverses Element:

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a=0_{M}$.

Das Inverse Element von $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})$ wird $(-a)=((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {7}})$ sein:

${\begin{alignedat}{1}&{\color {green}a+(-a)}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {7}})=((a_{i}+(-a_{i}))+(a_{w}+(-a_{w}))\cdot {\sqrt {7}})={\color {green}(0+0\cdot {\sqrt {7}})}=\\&{\color {green}0_{M}}=(((-a_{i})+a_{i})+(((-a_{w})+a_{w})\cdot {\sqrt {7}}))=(((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {7}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}))={\color {green}(-a)+a}.\end{alignedat}}$

D.h. das inverse Element zu $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})$ bezüglich $\mathbf {+}$ ist $(-a)=((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {7}})\in M$.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {+}$: $\forall \,a,\,b\,\in M$ gilt$\colon \,a+b=b+a$.

Da die Addition in $\mathbb {R}$ kommutativ ist, folgt daraus, dass $\left\langle M,+\right\rangle$ kommutativ ist.

$a+b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})=b+a$.

$\implies$ Wir haben bewiesen, dass $\mathbf {\left\langle M,+\right\rangle }$ eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (abelsche Gruppe) ist.

Ring

Für einen Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element $0$), $\qquad {\color {green}\surd }$
2. $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die beiden Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Zuerst prüfen wir die Abgeschlossenheit von $\left\langle M,\cdot \right\rangle$:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot b&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})=(a_{i}\cdot b_{i}+7\cdot (a_{w}\cdot b_{w}))+(a_{w}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w})\cdot {\sqrt {7}}.\end{alignedat}}$

$\implies$ Es gilt: $(a_{i}\cdot b_{i}+7\cdot a_{w}\cdot b_{w})\in \mathbb {Q} \quad$ und $\quad (a_{w}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w})\in \mathbb {Q} \implies a\cdot b\in M$.

D.h. das Produkt einer Multiplikation ist wieder in der Struktur $M$ enthalten $\implies \left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Da wir mit der Multiplikation aus $\mathbb {R}$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$.

Wir können natürlich auch nachrechnen: die linke Seite und die rechte gehen analog:

${\begin{alignedat}{1}&{\text{LS}}\,\colon \,(a\cdot b)\cdot c=((a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}}))\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {7}})=\\&(a_{i}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {7}}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {7}})=\\&(a_{i}\cdot b_{i}\cdot c_{i}+7\cdot a_{w}\cdot b_{w}\cdot c_{i}+7\cdot a_{w}\cdot b_{i}\cdot c_{w}+7\cdot a_{i}\cdot b_{w}\cdot c_{w})+\\&(a_{w}\cdot b_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{i}\cdot c_{w}+7\cdot a_{w}\cdot b_{w}\cdot c_{w})\cdot {\sqrt {7}}\end{alignedat}}$

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,a\cdot b=b\cdot a$:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})={\text{ KG in }}\mathbb {R} =(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})=b\cdot a\end{alignedat}}$

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in M.$

Natürlich gilt hier mit der Addition und Multiplikation in $\mathbb {R}$ das 1. und das 2. Distributivgesetz.

Die lange Variante:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot (b+c)=\\&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot ((b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {7}}))=\\&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {7}}))=\\&=a_{i}\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {7}})+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {7}})=\\&=a_{i}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {7}}+a_{i}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {7}}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot b_{i}+\\&\quad +a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot c_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {7}}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {7}}=\\&=a_{i}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {7}}+a_{i}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {7}}+\\&\quad +a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot c_{i}+7\cdot a_{w}\cdot b_{w}+7\cdot a_{w}\cdot c_{w}=\\&=b_{i}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+b_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {7}}+7\cdot a_{w})+c_{i}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+c_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {7}}+7\cdot a_{w})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {7}}+7\cdot a_{w})+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {7}}+7\cdot a_{w})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot a+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot a=\\&=a\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})+a\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {7}})=\\&=a\cdot b+a\cdot c\end{alignedat}}$

• Für den zweiten Teil $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ nützen wir die kommutative Eigenschaften der Multiplikation aus

$(a+b)\cdot c=c\cdot (a+b){\text{ wie oben bewiesen gilt das 1. Distributivgesetz }}=c\cdot a+c\cdot b=a\cdot c+b\cdot c$

Zusätze

• Einselement bezüglich $\mathbf {\cdot }$: Gibt es ein neutrales Element $1_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a\cdot 1_{M}=1_{M}\cdot a=a$.

Wir nehmen an, dass das Einselement von $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ folgend ausschaut: $1_{M}=(1+0\cdot {\sqrt {7}})$.

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot 1_{M}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (1+0\cdot {\sqrt {7}})=a_{i}\cdot 1+a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\cdot 1+0+0=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})=a=\\&\quad =1\cdot a_{i}+1\cdot a_{w}\cdot {\sqrt {7}}+0+0=(1+0\cdot {\sqrt {7}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})=1_{M}\cdot a\end{alignedat}}$

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt und verwendet.

$\implies$ Wir haben einen kommutativen Ring mit Einselement

Integritätsring

Ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler heißt Integritätsring.

• Nullteiler: Man nennt ein Element $a\neq 0_{M}$ eines Ringes $M$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0_{M}$ aus $M$ gibt, so dass $a\cdot b=0_{M}$ oder $b\cdot a=0_{M}$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. D.h ein Nullteiler wäre $a\cdot b=0_{M}\,$, obwohl beide Elemente $a,b\in M$ ungleich $0_{M}$ sind.

Wir haben oben bereits bewiesen, dass wir einen rein rationalen Anteil $a_{i}$ und einen rein irrationalen Anteil $a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\,$, bis auf die Null $0_{M}$, haben. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $0_{M}$.

Die Grundfrage ist, in welchen Formen kann ich das Produkt zweier Zahlen $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\,$ und $b=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})\,$, also $a\cdot b$ darstellen, um die Zahl $\mathbf {0_{M}}$ (das neutrale Element bezüglich $+$) als Produkt zu erhalten. Da wir hier eine saubere Aufteilung in $a_{i}\in \mathbb {Q}$ und $a_{w}\cdot {\sqrt {7}}\in (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{0\}$ haben und es nur einen Schnittpunkt, die $\mathbf {0}$ gibt, ist die einzige Darstellung von $0_{M}$, wenn $a_{i}=0$ und $a_{w}=0$ sind. D.h. es gibt keine Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0_{M}$, in dem jedes Element $a\neq 0_{M}$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Wir werden noch das inverse Element zu einem beliebigen Element $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})$ berechnen. Es muss gelten $a\cdot a^{-1}=1_{M}=(1+0\cdot {\sqrt {7}})$:

${\begin{alignedat}{1}&1=a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})=(a_{i}\cdot b_{i}+7\cdot a_{w}\cdot b_{w})+(a_{i}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i})\cdot {\sqrt {7}}\implies \\[1ex]&\implies {\text{es muss gelten }}\colon \,a_{i}\cdot b_{i}+7\cdot a_{w}\cdot b_{w}=1\quad \land \quad (a_{i}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i})=0\implies \\[1ex]&\implies b_{w}={\frac {-a_{w}\cdot b_{i}}{a_{i}}}\quad (a_{i}\neq 0)\quad \land \quad a_{i}\cdot b_{i}+7\cdot a_{w}\cdot {\frac {-a_{w}\cdot b_{i}}{a_{i}}}=1\implies \\[1ex]&\implies b_{i}\cdot {\frac {a_{i}^{2}+7\cdot a_{w}\cdot (-a_{w})}{a_{i}}}=1\implies {\color {green}{b_{i}={\frac {a_{i}}{a_{i}^{2}-7\cdot a_{w}^{2}}}}}\quad \land \quad {\color {green}b_{w}={\frac {-a_{w}}{a_{i}^{2}-7\cdot a_{w}^{2}}}}\end{alignedat}}$

Sonderfälle ${\color {green}a_{i}=0}$ und $a_{i}^{2}-7\cdot a_{w}^{2}=0$ (wir haben oben durch $a_{i}$ und $a_{i}^{2}-7\cdot a_{w}^{2}\,$ dividiert)

$(x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y))\implies a_{i}^{2}-7\cdot a_{w}^{2}=(a_{i}-a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})$:

• $a_{i}=0\,,$

${\begin{alignedat}{1}&1=a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {7}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {7}})=7\cdot a_{w}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i}\cdot {\sqrt {7}}\implies \\&\implies {\text{es muss gelten }}\colon \,7\cdot a_{w}\cdot b_{w}=1\quad \land \quad a_{w}\cdot b_{i}\cdot {\sqrt {7}}=0\\&\implies \quad {\color {green}b_{i}=0={\frac {a_{i}}{a_{i}^{2}-7\cdot a_{w}^{2}}}}\quad \land \quad {\color {green}b_{w}={\frac {1}{7\cdot a_{w}}}={\frac {-a_{w}}{a_{i}^{2}-7\cdot a_{w}^{2}}}}\end{alignedat}}$

• ${\color {green}a_{i}\mathbf {-} a_{w}\cdot {\sqrt {7}}}=0\,,$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist irrational $\implies$ der Ausdruck kann nur bei $a_{i}=a_{w}=0$ den Wert $0_{M}$ annehmen $\implies a_{i}=0$.
• ${\color {green}a_{i}\mathbf {+} a_{w}\cdot {\sqrt {7}}}=0\,,$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist irrational $\implies$ der Ausdruck kann nur bei $a_{i}=a_{w}=0$ den Wert $0_{M}$ annehmen $\implies a_{i}=0$.

Probe

${\begin{alignedat}{1}&a&=(2+3\cdot {\sqrt {7}}),\quad \,&b=(-2/59+3/59\cdot {\sqrt {7}}),\quad &a\cdot b=(-4/59+63/59)+(-6/59+6/59)\cdot {\sqrt {7}}=(1+0\cdot {\sqrt {7}})=\mathbf {\color {green}1} \\&a&=(0+3\cdot {\sqrt {7}}),\quad \,&b=(0+{\frac {1}{21}}\cdot {\sqrt {7}}),\quad &a\cdot b=(3\cdot {\sqrt {7}}\cdot {\frac {1}{21}}\cdot {\sqrt {7}})={\frac {21}{21}}=(1+0\cdot {\sqrt {7}})=\mathbf {\color {green}1} \end{alignedat}}$

Gesamtergebnis $\implies$ $\mathbf {\color {green}\left\langle M,+,\cdot \right\rangle }$ ist ein Körper. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

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