TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 418

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbb{Q}\mathbf{[}\sqrt{\mathrm{𝟕}}\mathbf{]}=\{a+b\cdot \sqrt{\mathrm{𝟕}}|a,b\in \mathbb{Q}\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $ℝ$.

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Lösungsvorschlag von mnemetz

Für die Addition

Abgeschlossenheit

$(w+x\ast \sqrt{7})+(y+z\ast \sqrt{7})=(w+y)+(x+z)\ast \sqrt{7})$

w + y $\in \mathbb{Q}$, x + z $\in \mathbb{Q}\Rightarrow$ abgeschlossen

Assoziativität

$\begin{array}{cc}a\circ (b\circ c)& =(a\circ b)\circ c\\ \end{array}$

• $a=(u+v\ast \sqrt{7})$
• $b=(w+x\ast \sqrt{7})$
• $c=(y+z\ast \sqrt{7})$

$\begin{array}{cc}(u+v\ast \sqrt{7})+((w+x\ast \sqrt{7})+(y+z\ast \sqrt{7}))& =((u+v\ast \sqrt{7})+(w+x\ast \sqrt{7}))+(y+z\ast \sqrt{7})\\ (u+w+y)+(v+x+z)\ast \sqrt{7}& =(u+w+y)+(v+x+z)\ast \sqrt{7}\end{array}$

Daher: assoziativ

Neutrales Element (Einheitselement)

$e=0+0\ast \sqrt{7}=0$

Inverses Element

$(x+y\ast \sqrt{7}{)}^{\prime }=(-x)+(-y)\ast \sqrt{7}$

Kommutativität

trivial

Okay Gitti

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Für die Multiplikation

Abgeschlossenheit

$(w+x\ast \sqrt{7})\ast (y+z\ast \sqrt{7})=w\ast y+w\ast z\ast \sqrt{7}+y\ast x\ast \sqrt{7}+7\ast x\ast z=\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(w\ast y+7\ast x\ast z)}}+\underset{\in \mathbb{Q}}{\underbrace{(w\ast z+y\ast x)}}\ast \sqrt{7}$

abgeschlossen

Assoziativität

trivial. Ist gegeben.

Neutrales Element

$e=1+0\ast \sqrt{7}$

Inverses Element

$\begin{array}{cc}(x+y\ast \sqrt{7})\ast (x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{7})& =1+0\ast \sqrt{7}\\ x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{7}& =\frac{1}{x+y\ast \sqrt{7}}\\ x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{7}& =\frac{1}{x+y\ast \sqrt{7}}\ast \frac{x-y\ast \sqrt{7}}{x-y\ast \sqrt{7}}\\ x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{7}& =\frac{x-y\ast \sqrt{7}}{x^2-7\ast y^2}\\ x^{\prime }+y^{\prime }\ast \sqrt{7}& =\frac{x}{x^2-7\ast y^2}-\frac{y}{x^2-7\ast y^2}\ast \sqrt{7}\\ \end{array}$

Da x' und y' aus Q sind, muss $x^{\prime }=\frac{x}{x^2-7\ast y^2}$ und $y^{\prime }=-\frac{y}{x^2-7\ast y^2}$ gelten. Somit sind x' und y' festgestellt, und jedes element aus M hat ein Inverses, ausser $0+0\ast \sqrt{7}$ was genug ist, damit M Körper genannt werden kann.

Untersuchung des Nenners der rechten Seite:

$\begin{array}{cc}{x}^2& =7\ast y^2\\ x& =\pm \sqrt{7}\ast y\\ \end{array}$

Anmerkung:
$0\in M$ da,
$0+0\ast \sqrt{7}$
0 hat jedoch kein inverses Element in $⟨M,\ast ⟩$
!Die existenz eines inversen Elements von $⟨M,\ast ⟩$ bezüglich $⟨M,+,\ast ⟩$ ist KEINE Vorraussetzung für einen Körper. Siehe S.82 in Drmotas "Mathematik für Informatik" (ISBN 9783885381174), nach der Definition 2.66: "Eine algebraische Struktur (K,+,*) ist also genau dann ein Körper, wenn (K,+) und (K\{0},*),*) kommutative Gruppen sind und die Distributivgesetze gelten." --Irfy 03:24, 14. Jan. 2010 (CET)

Kommutativität

trivial

Schlussfolgerung

Es liegt eine Abelsche Gruppe vor.

Schlussfolgerung

Es liegt ein Körper für $⟨M,+,\ast ⟩$ vor.

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in ${\mathbb{Z}}_6$ die Beziehung $\bar{2}\cdot \bar{3}=\bar{6}=\bar{0}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\ne 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\ne 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $⟨K,+,\cdot ⟩$ mit Einselement $1\ne 0$, in dem jedes Element $a\ne 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Beweis Wurzel 7 irrational

Beweis $\sqrt{7}\notin \mathbb{Q}$: Wir nehmen an, dass der Ausdruck $\sqrt{7}$ rational ist und stellen diesen in der bekannten Form der rationalen Zahlen dar, wobei der Bruch in gekürzter Form sein soll, also sind $𝐩,𝐪$ teilerfremd, also $p\perp q$.

$\begin{array}{ccccccc}& \sqrt{7}=\frac{p}{q}|(.{)}^2⟹7=\frac{p^2}{q^2}|\cdot q^2& ⟹7\cdot q^2=p^2& ⟹7\mid p^2& ⟹7\mid p& ⟹\mathrm{\exists }o\in \mathbb{N}:o=\frac{p}{7}& ⟹p=7\cdot o\\ & ⟹7\cdot q^2=p^2=(7\cdot o{)}^2|(:7)& ⟹q^2=7\cdot o^2& ⟹7\mid q^2& ⟹7\mid q& ⟹\mathrm{\exists }r\in \mathbb{N}:r=\frac{q}{7}& ⟹q=7\cdot r& ⟹\frac{p}{q}=& \frac{7\cdot o}{7\cdot r}.\end{array}$

$⟹$ Widerspruch zur Annahme, dass $p,q$ teilerfremd sind, also liegt $\frac{p}{q}$ nicht in gekürzter Form vor.

Lösung von Har203

--Har203 20:22, 26. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbb{Q}\mathbf{[}\sqrt{\mathrm{𝟕}}\mathbf{]}=\{a+b\cdot \sqrt{\mathrm{𝟕}}|a,b\in \mathbb{Q}\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $ℝ$.

Zuerst einmal einige Grundgedanken. Wenn wir uns eine Zahl in der Form $a_i+a_w\cdot \sqrt{7}$ anschauen, dann hätten wir gerne, dass der eine Teil ein rein rationaler Anteil $a_i\in \mathbb{Q}$ ist und der zweite Teil ein rein irrationaler Teil $(a_w\cdot \sqrt{7})\in (ℝ\setminus \mathbb{Q})\cup \{0\}$ ist. Dieses Verhalten wird durch die Wurzel $\sqrt{7}$ bestimmt.

Grundsätzlich geht es später darum, ob das Produkt bezüglich $\mathbf{\cdot }$ den Wert ${\mathrm{𝟎}}_{𝐌}$ annehmen kann, auch wenn $a,b\in M$, aber beide ungleich $0_M$ sind (Nullteiler).

• Den Beweis für $\sqrt{\mathrm{𝟕}}\mathbf{\notin }\mathbb{Q}$ habe ich oben in den Hilfsmitteln eingefügt.

D.h. wir haben wirklich einen rein rationalen Anteil $(a_i)$ und einen rein irrationalen Anteil $(a_w\cdot \sqrt{7})$. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $0$.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden:

$a=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7}),b=(b_i+b_w\cdot \sqrt{7}),c=(c_i+c_w\cdot \sqrt{7})$ mit $a_i,a_w,b_i,b_w,c_i,c_w\in \mathbb{Q}⟹a,b,c\in M$.

Gruppe

Zuerst die Gruppe mit den geforderten Gruppenaxiomen in $⟨M,+⟩$:

1. Abgeschlossen: $\mathrm{\forall }a,b\in M$ gilt$:(a+b)\in M$.
2. Assoziativität: $\mathrm{\forall }a,b,c\in M$ gilt$:(a+b)+c=a+(b+c)$.
3. Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition: Es gibt ein neutrales Element: $0_M\in M$ mit $\mathrm{\forall }a\in M$ gilt$:a+0_M=0_M+a=a$.
4. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\mathrm{\forall }a\in M$ gilt$:\mathrm{\exists }(-a)\in M$ mit$:a+(-a)=(-a)+a=0_M$.
5. Kommutativität: Für alle Elemente $a,b\in M$ gilt$:(a+b)=(b+a)$

• Abgeschlossenheit bezüglich $\mathbf{+}$: Wir prüfen zuerst die Abgeschlossenheit von $⟨M,+⟩$:

$a+b=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+(b_i+b_w\cdot \sqrt{7})=(a_i+b_i)+(a_w+b_w)\cdot \sqrt{7}$ mit $(a_i+b_i)$ und $(a_w+b_w)\in \mathbb{Q}$.

D.h. die Summe einer Addition in $M$ ist wieder in der Struktur von $M$ enthalten $⟹$ die Struktur $⟨M,\mathbf{+}⟩$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf{+}$:

$\mathrm{\forall }a,b,c\in M$ gilt$:(a+b)+c=a+(b+c)$

Da wir mit der Addition aus $ℝ$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf{+}$. Wir können natürlich auch nachrechnen (bei der Addition noch einfach):

$(a+b)+c=((a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+(b_i+b_w\cdot \sqrt{7}))+(c_i+c_w\cdot \sqrt{7})=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+((b_i+b_w\cdot \sqrt{7})+(c_i+c_w\cdot \sqrt{7}))=a+(b+c)$.

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich $\mathbf{+}$: Es gibt ein neutrales Element $0_M\in M$ mit $\mathrm{\forall }a\in M$ gilt$:a+0_M=0_M+a=a$.

Wir nehmen an, dass das neutrale Element bezüglich der Addition $0_M=(0+0\cdot \sqrt{7})\in M$ sein wird:

$\begin{array}{cc}& a+0_M=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+(0+0\cdot \sqrt{7})=((a_i+0)+(a_w+0)\cdot \sqrt{7})=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})=\\ & =a=((0+a_i)+(0+a_w)\cdot \sqrt{7})=(0+0\cdot \sqrt{7})+(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})=0_M+a.\end{array}$

D.h. das neutrale Element bezüglich + ist $0_M=(0+0\cdot \sqrt{7})\in M$.

• Inverse Element: Für alle Elemente $a\in ⟨M,+⟩$ existiert ein inverses Element:

$\mathrm{\forall }a\in M$ gilt$:\mathrm{\exists }(-a)\in M$ mit$:a+(-a)=(-a)+a=0_M$.

Das Inverse Element von $a=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})$ wird $(-a)=((-a_i)+(-a_w)\cdot \sqrt{7})$ sein:

$\begin{array}{cc}& a+(-a)=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+((-a_i)+(-a_w)\cdot \sqrt{7})=((a_i+(-a_i))+(a_w+(-a_w))\cdot \sqrt{7})=(0+0\cdot \sqrt{7})=\\ & 0_M=(((-a_i)+a_i)+(((-a_w)+a_w)\cdot \sqrt{7}))=(((-a_i)+(-a_w)\cdot \sqrt{7})+(a_i+a_w\cdot \sqrt{7}))=(-a)+a.\end{array}$

D.h. das inverse Element zu $a=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})$ bezüglich $\mathbf{+}$ ist $(-a)=((-a_i)+(-a_w)\cdot \sqrt{7})\in M$.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf{+}$: $\mathrm{\forall }a,b\in M$ gilt$:a+b=b+a$.

Da die Addition in $ℝ$ kommutativ ist, folgt daraus, dass $⟨M,+⟩$ kommutativ ist.

$a+b=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+(b_i+b_w\cdot \sqrt{7})=(b_i+b_w\cdot \sqrt{7})+(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})=b+a$.

$⟹$ Wir haben bewiesen, dass $⟨M,+⟩$ eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (abelsche Gruppe) ist.

Ring

Für einen Ring $⟨M,+,\cdot ⟩$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $⟨M,+⟩$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element $0$), $\surd$
2. $⟨M,\cdot ⟩$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die beiden Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Zuerst prüfen wir die Abgeschlossenheit von $⟨M,\cdot ⟩$:

$\begin{array}{ccc}& a\cdot b& =(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})\cdot (b_i+b_w\cdot \sqrt{7})=(a_i\cdot b_i+7\cdot (a_w\cdot b_w))+(a_w\cdot b_i+a_i\cdot b_w)\cdot \sqrt{7}.\end{array}$

$⟹$ Es gilt: $(a_i\cdot b_i+7\cdot a_w\cdot b_w)\in \mathbb{Q}$ und $(a_w\cdot b_i+a_i\cdot b_w)\in \mathbb{Q}⟹a\cdot b\in M$.

D.h. das Produkt einer Multiplikation ist wieder in der Struktur $M$ enthalten $⟹⟨M,\cdot ⟩$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf{\cdot }$: $\mathrm{\forall }a,b,c\in M$ gilt$:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Da wir mit der Multiplikation aus $ℝ$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf{\cdot }$.

Wir können natürlich auch nachrechnen: die linke Seite und die rechte gehen analog:

$\begin{array}{cc}& \text{LS}:(a\cdot b)\cdot c=((a_i+a_w\cdot \sqrt{7})\cdot (b_i+b_w\cdot \sqrt{7}))\cdot (c_i+c_w\cdot \sqrt{7})=\\ & (a_i\cdot b_i+a_w\cdot \sqrt{7}\cdot b_i+a_i\cdot b_w\cdot \sqrt{7}+a_w\cdot \sqrt{7}\cdot b_w\cdot \sqrt{7})\cdot (c_i+c_w\cdot \sqrt{7})=\\ & (a_i\cdot b_i\cdot c_i+7\cdot a_w\cdot b_w\cdot c_i+7\cdot a_w\cdot b_i\cdot c_w+7\cdot a_i\cdot b_w\cdot c_w)+\\ & (a_w\cdot b_i\cdot c_i+a_i\cdot b_w\cdot c_i+a_i\cdot b_i\cdot c_w+7\cdot a_w\cdot b_w\cdot c_w)\cdot \sqrt{7}\end{array}$

• Kommutativität bezüglich $\mathbf{\cdot }$: Für alle Elemente $a,b\in M$ gilt$:a\cdot b=b\cdot a$:

$\begin{array}{cc}& a\cdot b=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})\cdot (b_i+b_w\cdot \sqrt{7})=\text{ KG in }ℝ=(b_i+b_w\cdot \sqrt{7})\cdot (a_i+a_w\cdot \sqrt{7})=b\cdot a\end{array}$

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\begin{array}{cc}a\cdot (b+c)& =a\cdot b+a\cdot c\\ (a+b)\cdot c& =a\cdot c+b\cdot c\end{array}\}\mathrm{\forall }a,b,c\in M.$

Natürlich gilt hier mit der Addition und Multiplikation in $ℝ$ das 1. und das 2. Distributivgesetz.

Die lange Variante:

$\begin{array}{cc}& a\cdot (b+c)=\\ & =(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})\cdot ((b_i+b_w\cdot \sqrt{7})+(c_i+c_w\cdot \sqrt{7}))=\\ & =(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})\cdot ((b_i+c_i)+(b_w+c_w)\cdot \sqrt{7}))=\\ & =a_i\cdot ((b_i+c_i)+(b_w+c_w)\cdot \sqrt{7})+a_w\cdot \sqrt{7}\cdot ((b_i+c_i)+(b_w+c_w)\cdot \sqrt{7})=\\ & =a_i\cdot b_i+a_i\cdot c_i+a_i\cdot b_w\cdot \sqrt{7}+a_i\cdot c_w\cdot \sqrt{7}+a_w\cdot \sqrt{7}\cdot b_i+\\ & +a_w\cdot \sqrt{7}\cdot c_i+a_w\cdot \sqrt{7}\cdot b_w\cdot \sqrt{7}+a_w\cdot \sqrt{7}\cdot c_w\cdot \sqrt{7}=\\ & =a_i\cdot b_i+a_i\cdot c_i+a_i\cdot b_w\cdot \sqrt{7}+a_i\cdot c_w\cdot \sqrt{7}+\\ & +a_w\cdot \sqrt{7}\cdot b_i+a_w\cdot \sqrt{7}\cdot c_i+7\cdot a_w\cdot b_w+7\cdot a_w\cdot c_w=\\ & =b_i\cdot (a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+b_w\cdot (a_i\cdot \sqrt{7}+7\cdot a_w)+c_i\cdot (a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+c_w\cdot (a_i\cdot \sqrt{7}+7\cdot a_w)=\\ & =b_i\cdot a+b_w\cdot (a_i\cdot \sqrt{7}+7\cdot a_w)+c_i\cdot a+c_w\cdot (a_i\cdot \sqrt{7}+7\cdot a_w)=\\ & =b_i\cdot a+b_w\cdot \sqrt{7}\cdot (a_i+a_w\cdot \sqrt{7})+c_i\cdot a+c_w\cdot \sqrt{7}\cdot (a_i+a_w\cdot \sqrt{7})=\\ & =b_i\cdot a+b_w\cdot \sqrt{7}\cdot a+c_i\cdot a+c_w\cdot \sqrt{7}\cdot a=\\ & =a\cdot (b_i+b_w\cdot \sqrt{7})+a\cdot (c_i+c_w\cdot \sqrt{7})=\\ & =a\cdot b+a\cdot c\end{array}$

• Für den zweiten Teil $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ nützen wir die kommutative Eigenschaften der Multiplikation aus

$(a+b)\cdot c=c\cdot (a+b)\text{ wie oben bewiesen gilt das 1. Distributivgesetz }=c\cdot a+c\cdot b=a\cdot c+b\cdot c$

Zusätze

• Einselement bezüglich $\mathbf{\cdot }$: Gibt es ein neutrales Element $1_M\in M$ mit $\mathrm{\forall }a\in M$ gilt$:a\cdot 1_M=1_M\cdot a=a$.

Wir nehmen an, dass das Einselement von $⟨M,\cdot ⟩$ folgend ausschaut: $1_M=(1+0\cdot \sqrt{7})$.

$\begin{array}{cc}& a\cdot 1_M=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})\cdot (1+0\cdot \sqrt{7})=a_i\cdot 1+a_w\cdot \sqrt{7}\cdot 1+0+0=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})=a=\\ & =1\cdot a_i+1\cdot a_w\cdot \sqrt{7}+0+0=(1+0\cdot \sqrt{7})\cdot (a_i+a_w\cdot \sqrt{7})=1_M\cdot a\end{array}$

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt und verwendet.

$⟹$ Wir haben einen kommutativen Ring mit Einselement

Integritätsring

Ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler heißt Integritätsring.

• Nullteiler: Man nennt ein Element $a\ne 0_M$ eines Ringes $M$ Nullteiler, wenn es ein $b\ne 0_M$ aus $M$ gibt, so dass $a\cdot b=0_M$ oder $b\cdot a=0_M$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. D.h ein Nullteiler wäre $a\cdot b=0_M$, obwohl beide Elemente $a,b\in M$ ungleich $0_M$ sind.

Wir haben oben bereits bewiesen, dass wir einen rein rationalen Anteil $a_i$ und einen rein irrationalen Anteil $a_w\cdot \sqrt{7}$, bis auf die Null $0_M$, haben. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $0_M$.

Die Grundfrage ist, in welchen Formen kann ich das Produkt zweier Zahlen $a=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})$ und $b=(b_i+b_w\cdot \sqrt{7})$, also $a\cdot b$ darstellen, um die Zahl ${\mathrm{𝟎}}_{𝐌}$ (das neutrale Element bezüglich $+$) als Produkt zu erhalten. Da wir hier eine saubere Aufteilung in $a_i\in \mathbb{Q}$ und $a_w\cdot \sqrt{7}\in (ℝ\setminus \mathbb{Q})\cup \{0\}$ haben und es nur einen Schnittpunkt, die $\mathrm{𝟎}$ gibt, ist die einzige Darstellung von $0_M$, wenn $a_i=0$ und $a_w=0$ sind. D.h. es gibt keine Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $⟨M,+,\cdot ⟩$ mit Einselement $1\ne 0_M$, in dem jedes Element $a\ne 0_M$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Wir werden noch das inverse Element zu einem beliebigen Element $a=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})$ berechnen. Es muss gelten $a\cdot a^{-1}=1_M=(1+0\cdot \sqrt{7})$:

$\begin{array}{cc}& 1=a\cdot b=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})\cdot (b_i+b_w\cdot \sqrt{7})=(a_i\cdot b_i+7\cdot a_w\cdot b_w)+(a_i\cdot b_w+a_w\cdot b_i)\cdot \sqrt{7}⟹\\ & ⟹\text{es muss gelten }:a_i\cdot b_i+7\cdot a_w\cdot b_w=1\wedge (a_i\cdot b_w+a_w\cdot b_i)=0⟹\\ & ⟹b_w=\frac{-a_w\cdot b_i}{a_i}(a_i\ne 0)\wedge a_i\cdot b_i+7\cdot a_w\cdot \frac{-a_w\cdot b_i}{a_i}=1⟹\\ & ⟹b_i\cdot \frac{a_i^2+7\cdot a_w\cdot (-a_w)}{a_i}=1⟹b_i=\frac{a_i}{a_i^2-7\cdot a_w^2}\wedge b_w=\frac{-a_w}{a_i^2-7\cdot a_w^2}\end{array}$

Sonderfälle $a_i=0$ und $a_i^2-7\cdot a_w^2=0$ (wir haben oben durch $a_i$ und $a_i^2-7\cdot a_w^2$ dividiert)

$(x^2-y^2=(x-y)\cdot (x+y))⟹a_i^2-7\cdot a_w^2=(a_i-a_w\cdot \sqrt{7})\cdot (a_i+a_w\cdot \sqrt{7})$:

• $a_i=0,$

$\begin{array}{cc}& 1=a\cdot b=(a_i+a_w\cdot \sqrt{7})\cdot (b_i+b_w\cdot \sqrt{7})=7\cdot a_w\cdot b_w+a_w\cdot b_i\cdot \sqrt{7}⟹\\ & ⟹\text{es muss gelten }:7\cdot a_w\cdot b_w=1\wedge a_w\cdot b_i\cdot \sqrt{7}=0\\ & ⟹b_i=0=\frac{a_i}{a_i^2-7\cdot a_w^2}\wedge b_w=\frac{1}{7\cdot a_w}=\frac{-a_w}{a_i^2-7\cdot a_w^2}\end{array}$

• $a_i\mathbf{-}{a}_w\cdot \sqrt{7}=0,$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist irrational $⟹$ der Ausdruck kann nur bei $a_i=a_w=0$ den Wert $0_M$ annehmen $⟹a_i=0$.
• $a_i\mathbf{+}{a}_w\cdot \sqrt{7}=0,$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist irrational $⟹$ der Ausdruck kann nur bei $a_i=a_w=0$ den Wert $0_M$ annehmen $⟹a_i=0$.

Probe

$\begin{array}{ccccc}& a& =(2+3\cdot \sqrt{7}),& b=(-2/59+3/59\cdot \sqrt{7}),& a\cdot b=(-4/59+63/59)+(-6/59+6/59)\cdot \sqrt{7}=(1+0\cdot \sqrt{7})=\mathrm{𝟏}\\ & a& =(0+3\cdot \sqrt{7}),& b=(0+\frac{1}{21}\cdot \sqrt{7}),& a\cdot b=(3\cdot \sqrt{7}\cdot \frac{1}{21}\cdot \sqrt{7})=\frac{21}{21}=(1+0\cdot \sqrt{7})=\mathrm{𝟏}\end{array}$

Gesamtergebnis $⟹$ $⟨M,+,\cdot ⟩$ ist ein Körper. $◼$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

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