TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 419

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {14}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {14} }}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

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}}

Lösungsvorschlag von neo

$(M,+):$
$(a+{\sqrt {14}}b)+(c+{\sqrt {14}}d)=(a+c)+{\sqrt {14}}(b+d)\in \mathbb {Q} [{\sqrt {14}}]\to abgeschlossen$
Die Addition ist assoziativ und kommutativ, daher die Struktur ebenso.
Das neutrale Element bezüglich der Addition ist trivialerweise die 0.
Das inverse Element ist das additive Inverse (a -> -a, b -> -b).
$(M,+)\,abelsche\,Gruppe$

$(M,*):$
$(a+{\sqrt {14}}b)(c+{\sqrt {14}}d)=ac+6bd+{\sqrt {14}}(ad+bc)\to abgeschlossen$
Kommutativität und Assoziativität wird von der regulären Multiplikation geerbt.
Das neutrale Element bezüglich der Multiplikation ist die 1 d.h$(1+{\sqrt {14}}*0)$.
Ebenso gibt es bezüglich der Multiplikation (in diesem Fall) keinen Nullteiler, da das Produkt einer Multiplikation nur $0$ ergibt, wenn einer der beiden Faktoren $0$ ist (ausgenommen Modulorechnung bzw. andere mir nicht bekannte Ausnahmen :D).
Ebenso gilt das Distributivgesetzt, da es in der regulären Addition bzw. Multiplikation schon gilt.

$(a+{\sqrt {14}}b)(c+{\sqrt {14}}d)=1$
$a+{\sqrt {14}}b={\frac {1}{c+{\sqrt {14}}d}}={\frac {1}{c+{\sqrt {14}}d}}{\frac {c-{\sqrt {14}}d}{c-{\sqrt {14}}d}}={\frac {c-{\sqrt {14}}d}{c^{2}-14d^{2}}}={\frac {c}{c^{2}-14d^{2}}}-{\frac {d}{c^{2}-14d^{2}}}{\sqrt {14}}$
Dieser Ausdruck ist falsch, wenn der Nenner 0 ergibt.
$c^{2}-14d^{2}=0$
$c-{\sqrt {14}}d=0$
$c={\sqrt {14}}d\Rightarrow c\notin \mathbb {Q} ,d={\frac {c}{\sqrt {14}}}\Rightarrow d\notin \mathbb {Q}$
Der Nenner ist also nur 0, wenn zumindest einer der beiden Variablen $c,d\notin \mathbb {Q}$ ist. Das ist aber laut Angabe nicht möglich. Formal folgt:
$\forall c,d\in Q\Rightarrow c^{2}-14d^{2}\neq 0\Rightarrow (a+{\sqrt {14}}b)^{-1}={\frac {c}{c^{2}-14d^{2}}}-{\frac {d}{c^{2}-14d^{2}}}{\sqrt {14}}\Rightarrow inverse\,Elemente$
$(M,+,*)\Rightarrow Koerper$

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in $\mathbb {Z} _{6}$ die Beziehung ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle K,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Beweis Wurzel 14 irrational

Beweis ${\sqrt {14}}\notin \mathbb {Q}$: Wir nehmen an, dass der Ausdruck ${\sqrt {14}}$ rational ist und stellen diesen in der bekannten Form der rationalen Zahlen dar, wobei der Bruch in gekürzter Form sein soll, also sind $\mathbf {p,q}$ teilerfremd, also $\,p\perp q\,$.

${\begin{alignedat}{1}&{\sqrt {14}}={\frac {p}{q}}\quad \vert \,(.)^{2}\implies 14={\frac {p^{2}}{q^{2}}}\quad \vert \,\cdot \,q^{2}&\implies {\color {red}2\cdot 7}\cdot q^{2}=p^{2}&\implies 2\mid {p^{2}}&\implies 2\mid {p}&\implies \,\exists \,o\in \mathbb {N} \colon \,o={\frac {p}{2}}&\implies p=2\cdot o\\&\implies {\color {red}2\cdot 7}\cdot q^{2}=p^{2}=(2\cdot o)^{2}\quad \vert (:2)&\implies 7\cdot q^{2}=2\cdot o^{2}&\implies 2\mid {q^{2}}&\implies 2\mid {q}&\implies \,\exists \,r\in \mathbb {N} \colon \,r={\frac {q}{2}}&\implies q=2\cdot r&\implies {\frac {p}{q}}=&{\frac {2\cdot o}{2\cdot r}}.\end{alignedat}}$

$\implies$ Widerspruch zur Annahme, dass $p,q$ teilerfremd sind, also liegt ${\frac {p}{q}}$ nicht in gekürzter Form vor.

Lösung von Har203

--Har203 21:23, 26. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\mathbf {\mathbb {Q} [{\sqrt {14}}]} =\{\,a+b\cdot {\sqrt {\mathbf {14} }}\,\vert \,a,b\in \mathbb {Q} \,\}$ mit der Addition und Multiplikation aus $\mathbb {R}$.

Zuerst einmal einige Grundgedanken. Wenn wir uns eine Zahl in der Form $a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\,$ anschauen, dann hätten wir gerne, dass der eine Teil ein rein rationaler Anteil $a_{i}\in \mathbb {Q}$ ist und der zweite Teil ein rein irrationaler Teil $(a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\in (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{0\}$ ist. Dieses Verhalten wird durch die Wurzel ${\sqrt {14}}\,$ bestimmt.

Grundsätzlich geht es später darum, ob das Produkt bezüglich $\mathbf {\cdot }$ den Wert $\mathbf {0_{M}}$ annehmen kann, auch wenn $a,\,b\in M$, aber beide ungleich $0_{M}$ sind (Nullteiler).

• Den Beweis für $\mathbf {{\sqrt {14}}\notin \mathbb {Q} }$ habe ich oben in den Hilfsmitteln eingefügt.

D.h. wir haben wirklich einen rein rationalen Anteil $(a_{i})$ und einen rein irrationalen Anteil $(a_{w}\cdot {\sqrt {14}})$. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $0$.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden

$a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}),\quad b=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}}),\quad c=(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {14}})\quad$ mit $a_{i},a_{w},b_{i},b_{w},c_{i},c_{w}\in \mathbb {Q} \implies a,b,c\in M$.

Gruppe

Zuerst die Gruppe mit den geforderten Gruppenaxiomen in $\left\langle M,+\right\rangle$:

1. Abgeschlossen: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \;(a+b)\in M$.
2. Assoziativität: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$.
3. Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition: Es gibt ein neutrales Element: $0_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+0_{M}=0_{M}+a=a$.
4. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a=0_{M}$.
5. Kommutativität: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,(a+b)=(b+a)$

• Abgeschlossenheit bezüglich $\mathbf {+}$: Wir prüfen zuerst die Abgeschlossenheit von $\left\langle M,+\right\rangle$:

$a+b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})=(a_{i}+b_{i})+(a_{w}+b_{w})\cdot {\sqrt {14}}\quad \,$ mit $(a_{i}+b_{i})$ und $(a_{w}+b_{w})\in \mathbb {Q}$.

D.h. die Summe einer Addition in $M$ ist wieder in der Struktur von $M$ enthalten $\implies$die Struktur $\left\langle M,\mathbf {+} \right\rangle$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {+}$:

$\,\forall \,a,b,c\,\in M\,$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$

Da wir mit der Addition aus $\mathbb {R}$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf {+}$. Wir können natürlich auch nachrechnen (bei der Addition noch einfach):

$(a+b)+c=((a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}}))+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {14}})=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+((b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {14}}))=a+(b+c)$.

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich $\mathbf {+}$: Es gibt ein neutrales Element $0_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+0_{M}=0_{M}+a=a$.

Wir nehmen an, dass das neutrale Element bezüglich der Addition $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {14}})\in M$ sein wird:

${\begin{alignedat}{1}&{\color {green}a+0_{M}}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+(0+0\cdot {\sqrt {14}})=((a_{i}+0)+(a_{w}+0)\cdot {\sqrt {14}})=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})=\\&={\color {green}a}=((0+a_{i})+(0+a_{w})\cdot {\sqrt {14}})=(0+0\cdot {\sqrt {14}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})={\color {green}0_{M}+a}.\end{alignedat}}$

D.h. das neutrale Element bezüglich $\mathbf {+}$ ist $0_{M}=(0+0\cdot {\sqrt {14}})\in M$.

• Inverse Element: Für alle Elemente $a\in \left\langle M,+\right\rangle$ existiert ein inverses Element:

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a=0_{M}$.

Das Inverse Element von $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})$ wird $(-a)=((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {14}})$ sein:

${\begin{alignedat}{1}&{\color {green}a+(-a)}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {14}})=((a_{i}+(-a_{i}))+(a_{w}+(-a_{w}))\cdot {\sqrt {14}})={\color {green}(0+0\cdot {\sqrt {14}})}=\\&{\color {green}0_{M}}=(((-a_{i})+a_{i})+(((-a_{w})+a_{w})\cdot {\sqrt {14}}))=(((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {14}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}))={\color {green}(-a)+a}.\end{alignedat}}$

D.h. das inverse Element zu $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})$ bezüglich $\mathbf {+}$ ist $(-a)=((-a_{i})+(-a_{w})\cdot {\sqrt {14}})\in M$.

• Kommutativität bezüglich +: $\forall \,a,\,b\,\in M$ gilt$\colon \,a+b=b+a$.

Da die Addition in $\mathbb {R}$ kommutativ ist, folgt daraus, dass $\left\langle M,+\right\rangle$ kommutativ ist.

$a+b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})+(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})=b+a$.

$\implies$ Wir haben bewiesen, dass $\mathbf {\left\langle M,+\right\rangle }$ eine kommutative Gruppe mit neutralem Element (abelsche Gruppe) ist.

Ring

Für einen Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element $0$), $\qquad {\color {green}\surd }$
2. $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die beiden Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Zuerst prüfen wir die Abgeschlossenheit von $\left\langle M,\cdot \right\rangle$:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot b&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})=(a_{i}\cdot b_{i}+14\cdot (a_{w}\cdot b_{w}))+(a_{w}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w})\cdot {\sqrt {14}}.\end{alignedat}}$

$\implies$ Es gilt: $(a_{i}\cdot b_{i}+14\cdot a_{w}\cdot b_{w})\in \mathbb {Q} \quad$ und $\quad (a_{w}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w})\in \mathbb {Q} \implies a\cdot b\in M$.

D.h. das Produkt einer Multiplikation ist wieder in der Struktur $M$ enthalten $\implies \left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Da wir mit der Multiplikation aus $\mathbb {R}$ arbeiten, gilt natürlich die Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$.

Wir können natürlich auch nachrechnen: die linke Seite und die rechte geht analog:

${\begin{alignedat}{1}&{\text{LS}}\,\colon \,(a\cdot b)\cdot c=((a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}}))\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {14}})=\\&(a_{i}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {14}}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {14}})=\\&(a_{i}\cdot b_{i}\cdot c_{i}+14\cdot a_{w}\cdot b_{w}\cdot c_{i}+14\cdot a_{w}\cdot b_{i}\cdot c_{w}+14\cdot a_{i}\cdot b_{w}\cdot c_{w})+\\&(a_{w}\cdot b_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{i}\cdot c_{w}+14\cdot a_{w}\cdot b_{w}\cdot c_{w})\cdot {\sqrt {14}}\end{alignedat}}$

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,a\cdot b=b\cdot a$:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})={\text{ KG in }}\mathbb {R} =(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})=b\cdot a\end{alignedat}}$

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in M.$

Natürlich gilt hier mit der Addition und Multiplikation in $\mathbb {R}$ das 1. und das 2. Distributivgesetz.

Die lange Variante:

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot (b+c)=\\&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot ((b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})+(c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {14}}))=\\&=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {14}})=\\&=a_{i}\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {14}})+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot ((b_{i}+c_{i})+(b_{w}+c_{w})\cdot {\sqrt {14}})=\\&=a_{i}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {14}}+a_{i}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {14}}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot b_{i}+\\&\quad +a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot c_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {14}}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {14}}=\\&=a_{i}\cdot b_{i}+a_{i}\cdot c_{i}+a_{i}\cdot b_{w}\cdot {\sqrt {14}}+a_{i}\cdot c_{w}\cdot {\sqrt {14}}+\\&\quad +a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot b_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot c_{i}+14\cdot a_{w}\cdot b_{w}+14\cdot a_{w}\cdot c_{w}=\\&=b_{i}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+b_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {14}}+14\cdot a_{w})+c_{i}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+c_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {14}}+14\cdot a_{w})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {14}}+14\cdot a_{w})+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot (a_{i}\cdot {\sqrt {14}}+14\cdot a_{w})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})=\\&=b_{i}\cdot a+b_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot a+c_{i}\cdot a+c_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot a=\\&=a\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})+a\cdot (c_{i}+c_{w}\cdot {\sqrt {14}})=\\&=a\cdot b+a\cdot c\end{alignedat}}$

• Für den zweiten Teil $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$ nützen wir die kommutative Eigenschaften der Multiplikation aus

$(a+b)\cdot c=c\cdot (a+b){\text{ wie oben bewiesen gilt das 1. Distributivgesetz }}=c\cdot a+c\cdot b=a\cdot c+b\cdot c$

Zusätze

• Einselement bezüglich $\cdot$: Gibt es ein neutrales Element $1_{M}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a\cdot 1_{M}=1_{M}\cdot a=a$.

Wir nehmen an, dass das Einselement von $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ folgend ausschaut: $1_{M}=(1+0\cdot {\sqrt {14}})$.

${\begin{alignedat}{1}&a\cdot 1_{M}=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (1+0\cdot {\sqrt {14}})=a_{i}\cdot 1+a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\cdot 1+0+0=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})=a=\\&=1\cdot a_{i}+1\cdot a_{w}\cdot {\sqrt {14}}+0+0=(1+0\cdot {\sqrt {14}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})=1_{M}\cdot a.\end{alignedat}}$

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt und verwendet.

$\implies$ Wir haben einen kommutativen Ring mit Einselement

Integritätsring

Ein kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler heißt Integritätsring.

• Nullteiler: Man nennt ein Element $a\neq 0_{M}$ eines Ringes $M$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0_{M}$ aus $M$ gibt, so dass $a\cdot b=0_{M}$ oder $b\cdot a=0_{M}$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. D.h ein Nullteiler wäre $a\cdot b=0_{M}\,$, obwohl beide Elemente $a,b\in M$ ungleich $0_{M}$ sind.

Wir haben oben bereits bewiesen, dass wir einen rein rationalen Anteil $a_{i}$ und einen rein irrationalen Anteil $a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\,$, bis auf die Null $0_{M}$, haben. Diese beiden Teile sind disjunkt mit der Ausnahme der $0_{M}$.

Die Grundfrage ist, in welchen Formen kann ich das Produkt zweier Zahlen $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\,$ und $b=(b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})\,$, also $a\cdot b$ darstellen, um die Zahl $\mathbf {0_{M}}$ (das neutrale Element bezüglich $+$) als Produkt zu erhalten. Da wir hier eine saubere Aufteilung in $a_{i}\in \mathbb {Q}$ und $a_{w}\cdot {\sqrt {14}}\in (\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cup \{0\}$ haben und es nur einen Schnittpunkt, die $\mathbf {0}$ gibt, ist die einzige Darstellung von $0_{M}$, wenn $a_{i}=0$ und $a_{w}=0$ sind. D.h. es gibt keine Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0_{M}$, in dem jedes Element $a\neq 0_{M}$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Wir werden noch das inverse Element zu einem beliebigen Element $a=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})$ berechnen. Es muss gelten $a\cdot a^{-1}=1_{M}=(1+0\cdot {\sqrt {14}})$:

${\begin{alignedat}{1}&1=a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})=(a_{i}\cdot b_{i}+14\cdot a_{w}\cdot b_{w})+(a_{i}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i})\cdot {\sqrt {14}}\implies \\[1ex]&\implies {\text{es muss gelten }}\colon \,a_{i}\cdot b_{i}+14\cdot a_{w}\cdot b_{w}=1\quad \land \quad (a_{i}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i})=0\implies \\[1ex]&\implies b_{w}={\frac {-a_{w}\cdot b_{i}}{a_{i}}}\quad (a_{i}\neq 0)\quad \land \quad a_{i}\cdot b_{i}+14\cdot a_{w}\cdot {\frac {-a_{w}\cdot b_{i}}{a_{i}}}=1\implies \\[1ex]&\implies b_{i}\cdot {\frac {a_{i}^{2}+14\cdot a_{w}\cdot (-a_{w})}{a_{i}}}=1\implies {\color {green}{b_{i}={\frac {a_{i}}{a_{i}^{2}-14\cdot a_{w}^{2}}}}}\quad \land \quad {\color {green}b_{w}={\frac {-a_{w}}{a_{i}^{2}-14\cdot a_{w}^{2}}}}\end{alignedat}}$

Sonderfälle ${\color {green}a_{i}=0}$ und $a_{i}^{2}-14\cdot a_{w}^{2}=0$ (wir haben oben durch $a_{i}$ und $a_{i}^{2}-14\cdot a_{w}^{2}\,$ dividiert)

$(x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y))\implies a_{i}^{2}-14\cdot a_{w}^{2}=(a_{i}-a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})$:

• $a_{i}=0\,\colon$

${\begin{alignedat}{1}&1=a\cdot b=(a_{i}+a_{w}\cdot {\sqrt {14}})\cdot (b_{i}+b_{w}\cdot {\sqrt {14}})=14\cdot a_{w}\cdot b_{w}+a_{w}\cdot b_{i}\cdot {\sqrt {14}}\implies \\&\implies {\text{es muss gelten }}\colon \,14\cdot a_{w}\cdot b_{w}=1\quad \land \quad a_{w}\cdot b_{i}\cdot {\sqrt {14}}=0\\&\implies \quad {\color {green}b_{i}=0={\frac {a_{i}}{a_{i}^{2}-14\cdot a_{w}^{2}}}}\quad \land \quad {\color {green}b_{w}={\frac {1}{14\cdot a_{w}}}={\frac {-a_{w}}{a_{i}^{2}-14\cdot a_{w}^{2}}}={\frac {-a_{w}}{a_{i}^{2}-14\cdot a_{w}^{2}}}}\end{alignedat}}$

• ${\color {green}a_{i}\mathbf {-} a_{w}\cdot {\sqrt {14}}}=0\colon \,$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist irrational $\implies$ der Ausdruck kann nur bei $a_{i}=a_{w}=0$ den Wert $0_{M}$ annehmen $\implies a_{i}=0$.
• ${\color {green}a_{i}\mathbf {+} a_{w}\cdot {\sqrt {14}}}=0\colon \,$ der erste Teil ist rational, der zweite Teil ist irrational $\implies$ der Ausdruck kann nur bei $a_{i}=a_{w}=0$ den Wert $0_{M}$ annehmen $\implies a_{i}=0$.

Probe

${\begin{alignedat}{1}&a&=(2+3\cdot {\sqrt {14}}),\quad \,&b=(-2/122+3/122\cdot {\sqrt {14}}),\quad &a\cdot b=(-4/122+126/122)+(-6/122+6/122)\cdot {\sqrt {14}}=(1+0\cdot {\sqrt {14}})=\mathbf {\color {green}1} \\&a&=(0+3\cdot {\sqrt {14}}),\quad \,&b=(0+{\frac {1}{42}}\cdot {\sqrt {14}}),\quad &a\cdot b=(3\cdot {\sqrt {14}}\cdot {\frac {1}{42}}\cdot {\sqrt {14}})={\frac {42}{42}}=(1+0\cdot {\sqrt {14}})=\mathbf {\color {green}1} \end{alignedat}}$

Gesamtergebnis $\implies$ $\mathbf {\color {green}\left\langle M,+,\cdot \right\rangle }$ ist ein Körper. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

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