TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 420

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$ mit der Addition modulo $3$ und der Multiplikation modulo $4$.

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Damit es sich um einen Ring handelt, muss folgendes gelten: <M,+> = kommutative Gruppe <M,*> = Halbgruppe Distributivgesetze: a*(b+c)=ab+ac und (a+b)*c=ac+bc für a,b,c aus M

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Man kann <M,+> mittels Tabelle überprüfen. Man erhält

+  0  1  2
0  0  1  2
1  1  2  0
2  2  0  1

<das soll eine Tabelle sein, hab leider keine Ahnung wie man das macht>

Das Assoziativgesetz gilt, da es in Z, Zm und Restklassen gilt. Das neutrale Element ist 0 und jedes Element hat ein inverses Element. Das Kommutativgesetzt wird ebenfalls vererbt.

Somit erfüllt <M,+> die Voraussetzungen

---

Selbige Überprüfung macht man nun für <M,*> und erhält

*  0  1  2
0  0  0  0
1  0  1  2
2  0  2  0

<das soll eine Tabelle sein, hab leider keine Ahnung wie man das macht>

Das Assoziativgesetz wird vererbt Der Rest gilt nicht (produkt-null-satz)

Es handelt sich also um eine Halbgruppe, das reicht aus

---

Nun muss man beweisen, dass die Distributivgesetze gelten. Man nimmt beispielsweise an: a=2, b=1, c=2 und probiert:

2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 0 = 2

Wie man sieht gilt das Distributivgesetz nicht (immer), daher ist das Ganze (hoffentlich) kein Ring, daher auch kein Integritätsring bzw Körper.

desp

Meinung von tomCom:

Bezüglich * ist es ein Monoid, da es ja ein neutrales Element gibt: 1. Außerdem gilt das Distributivgesetz da: 2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 1 = 3 = 0

Meinung von mhaslhofer:

tomCom: "Außerdem gilt das Distributivgesetz da: 2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 1 = 3 = 0"

Achtung: 2*2 = 0 nicht 1! (die Angabe verlangt nach Multiplikations modulo 4 - die Operationstabelle <M,*> scheint mir korrekt)

Anmerkung von mir:

wie beweist man das Distributivgesetz? Weiß das jemand?

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\to G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\mathrm{\forall }a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\mathrm{\exists }e\in G:\mathrm{\forall }a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a^{\prime }$: $\mathrm{\forall }a\in G:\mathrm{\exists }{a}^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\mathrm{\forall }a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in ${\mathbb{Z}}_6$ die Beziehung $\bar{2}\cdot \bar{3}=\bar{6}=\bar{0}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\ne 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\ne 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $⟨K,+,\cdot ⟩$ mit Einselement $1\ne 0$, in dem jedes Element $a\ne 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Lösung von Har203

--Har203 01:42, 27. Feb. 2026 (CET) Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$ mit der Addition modulo $3$ und der Multiplikation modulo $4$.

Die Struktur $⟨M,+⟩$ ist isomorph zu $⟨{\mathbb{Z}}_3,+⟩$, der Gruppe der Restklassen modulo $3$. Diese ist bekanntlich:

• abgeschlossen. $\surd$
• assoziativ. $\surd$
• hat ein neutrales Element $\bar{0}$. $\surd$
• zu jedem Gruppenelement existiert ein inverses Element. $\surd$
• ist kommutativ. $\surd$
• ist auch zyklisch. $\surd$

$⟹$ $⟨M,+⟩$ ist eine abelsche Gruppe.

Wir schauen uns zuerst einmal die Operationstafeln $\mathbf{(}\mathbf{+}mod3\mathbf{)}$ an:

$\begin{array}{cccc}\mathbf{+}& \bar{0}& \bar{1}& \bar{2}\\ \bar{0}& \bar{0}& \bar{1}& \bar{2}\\ \bar{1}& \bar{1}& \bar{2}& \bar{0}\\ \bar{2}& \bar{2}& \bar{0}& \bar{1}\end{array}$

Wir schauen uns jetzt die Operationstafeln $\mathbf{(}\mathbf{\cdot }mod4\mathbf{)}$ an:

$\begin{array}{cccc}\mathbf{\cdot }& \bar{0}& \bar{1}& \bar{2}\\ \bar{0}& \bar{0}& \bar{0}& \bar{0}\\ \bar{1}& \bar{0}& \bar{1}& \bar{2}\\ \bar{2}& \bar{0}& \bar{2}& \bar{0}\end{array}$

• Anmerkung: Der Unterschied zwischen den Operationen $\mathbf{(}\mathbf{\cdot }mod3\mathbf{)}$ und $\mathbf{(}\mathbf{\cdot }mod4\mathbf{)}$ ist, dass hier $\bar{2}\cdot \bar{2}=\bar{0}$ resultiert und nicht, wie gewohnt $\bar{1}$.

D.h. wir haben einen Nullteiler $\bar{2}\cdot \bar{2}=\bar{0}$.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden: $a,b,c\in M$.

Ring

Für einen Ring $⟨M,+,\cdot ⟩$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $⟨M,+⟩$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element) $\bar{0},\surd$
2. $⟨M,\cdot ⟩$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Die Operation $\cdot$ ist abgeschlossen, da in der Operationstafel nur die Elemente $\{\bar{0},\bar{1},\bar{2}\}$ enthalten sind.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf{\cdot }$: $\mathrm{\forall }a,b,c\in M$ gilt$:(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Wir schauen uns drei Fälle an:

• Ist bereits ein Operand $\bar{0}$, dann ist das Endergebnis von $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)=\bar{0}$.
• Ist bereits ein Operand $\bar{1}$, dann gilt die Gleichung $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$:

$(\bar{1}\cdot b)\cdot c=b\cdot c,(a\cdot \bar{1})\cdot c=a\cdot c=a\cdot (\bar{1}\cdot c),(a\cdot b)\cdot \bar{1}=a\cdot b=a\cdot (b\cdot \bar{1})$.

• Der letzte Fall ist nur: $(\bar{2}\cdot \bar{2})\cdot \bar{2}=\bar{0}\cdot \bar{2}=\bar{0}=\bar{2}\cdot \bar{0}=\bar{2}\cdot (\bar{2}\cdot \bar{2})$.

$⟹$ Bezüglich der Operation $\cdot$ gilt das Assoziativgesetz.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf{\cdot }$: $\mathrm{\forall }a,b\in M$ gilt$:(a\cdot b)=(b\cdot a)$.

Da die Operationstafel symmetrisch zur Hauptdiagonale ist, gilt das Kommutativgesetz bezüglich $\mathbf{\cdot }$.

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\begin{array}{cc}a\cdot (b+c)& =a\cdot b+a\cdot c\\ (a+b)\cdot c& =a\cdot c+b\cdot c\end{array}\}\mathrm{\forall }a,b,c\in M.$

• 1. Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$:

$\begin{array}{cccc}& \bar{0}\cdot (b+c)& =(\bar{0})& =(\bar{0}\cdot b)+(\bar{0}\cdot c)=(\bar{0})+(\bar{0})=\bar{0}.\\ & \bar{1}\cdot (b+c)& =(b+c)& =(\bar{1}\cdot b)+(\bar{1}\cdot c)=b+c.\\ & \bar{2}\cdot (\bar{0}+c)& =\bar{2}\cdot (c)& =(\bar{2}\cdot \bar{0})+(\bar{2}\cdot c)=(\bar{0})+(\bar{2}\cdot c)=(\bar{2}\cdot c).\\ & \bar{2}\cdot (b+\bar{0})& =\bar{2}\cdot (b)& =(\bar{2}\cdot b)+(\bar{2}\cdot \bar{0})=(\bar{2}\cdot b)+(\bar{0})=(\bar{2}\cdot b).\\ & \bar{2}\cdot (\bar{1}+\bar{1})& =\bar{2}\cdot (\bar{2})=(\bar{0})& =(\bar{2}\cdot \bar{1})+(\bar{2}\cdot \bar{1})=(\bar{2})+(\bar{2})=(\bar{1}).\\ & \bar{2}\cdot (\bar{1}+\bar{2})& =\bar{2}\cdot (\bar{0})=(\bar{0})& =(\bar{2}\cdot \bar{1})+(\bar{2}\cdot \bar{2})=(\bar{2})+(\bar{0})=(\bar{2}).\end{array}$

$⟹$ Das $1.\text{ Distributivgesetz}$ gilt in dieser Struktur nicht.

• 2. Distributivgesetz: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$:

$\begin{array}{cc}& (\bar{1}+\bar{2})\cdot \bar{2}=(\bar{0})\cdot \bar{2}=\bar{0}=(\bar{1}\cdot \bar{2})+(\bar{2}\cdot \bar{2})=\bar{2}+\bar{0}=\bar{2}.\end{array}$

$⟹$ Das $2.\text{ Distributivgesetz}$ gilt in dieser Struktur nicht.

Zusätze

• Einselement bezüglich $\cdot$: Es gibt ein neutrales Element $\bar{1}\in M$ mit $\mathrm{\forall }a\in M$ gilt$::a\cdot \bar{1}=\bar{1}\cdot a=a$.

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt.

$⟹$ $⟨M,+⟩$ ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe mit Einselement.

$⟹$ $⟨M,\cdot ⟩$ ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Halbgruppe mit Einselement (ein Monoid).

Für einen Ring bzw. sogar Integritätsring fehlen die beiden Distributivgesetze (1. und 2. Distributivgesetz) und die Eigenschaft Nullteilerfrei:

1. Distributivgesetz gilt nicht:

$\bar{2}\cdot (\bar{1}+\bar{2})=\bar{2}\cdot (\bar{0})=(\bar{0})=(\bar{2}\cdot \bar{1})+(\bar{2}\cdot \bar{2})=\bar{2}+\bar{0}=\bar{2}$.

2. Distributivgesetz gilt nicht:

$(\bar{1}+\bar{2})\cdot \bar{2}=(\bar{0})\cdot \bar{2}=(\bar{0})=(\bar{1}\cdot \bar{2})+(\bar{2}\cdot \bar{2})=\bar{2}+\bar{0}=\bar{2}$.

Zusätzlich gibt es bezüglich der Multiplikation einen Nullteiler $\bar{2}$ mit $\bar{2}\cdot \bar{2}=\bar{0}$.

Für einen Körper mit Einselement $\bar{1}\ne \bar{0}$ fehlen zusätzlich bezüglich der Multiplikation die inversen Elemente für $\bar{1}\ne \bar{0}$ für die Gleichung $\bar{2}\cdot x=x\cdot \bar{2}=\bar{1},x\in M$.

Das Gesamtergebnis $⟹$ $⟨M,+,\cdot ⟩$ ist weder ein Ring, noch ein Integritätsring und auch kein Körper. $◼$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

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