TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 420

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{\,{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\,\}$ mit der Addition modulo $3$ und der Multiplikation modulo $4$.

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Damit es sich um einen Ring handelt, muss folgendes gelten: <M,+> = kommutative Gruppe <M,*> = Halbgruppe Distributivgesetze: a*(b+c)=ab+ac und (a+b)*c=ac+bc für a,b,c aus M

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Man kann <M,+> mittels Tabelle überprüfen. Man erhält

+  0  1  2
0  0  1  2
1  1  2  0
2  2  0  1

<das soll eine Tabelle sein, hab leider keine Ahnung wie man das macht>

Das Assoziativgesetz gilt, da es in Z, Zm und Restklassen gilt. Das neutrale Element ist 0 und jedes Element hat ein inverses Element. Das Kommutativgesetzt wird ebenfalls vererbt.

Somit erfüllt <M,+> die Voraussetzungen

---

Selbige Überprüfung macht man nun für <M,*> und erhält

*  0  1  2
0  0  0  0
1  0  1  2
2  0  2  0

<das soll eine Tabelle sein, hab leider keine Ahnung wie man das macht>

Das Assoziativgesetz wird vererbt Der Rest gilt nicht (produkt-null-satz)

Es handelt sich also um eine Halbgruppe, das reicht aus

---

Nun muss man beweisen, dass die Distributivgesetze gelten. Man nimmt beispielsweise an: a=2, b=1, c=2 und probiert:

2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 0 = 2

Wie man sieht gilt das Distributivgesetz nicht (immer), daher ist das Ganze (hoffentlich) kein Ring, daher auch kein Integritätsring bzw Körper.

desp

Meinung von tomCom:

Bezüglich * ist es ein Monoid, da es ja ein neutrales Element gibt: 1. Außerdem gilt das Distributivgesetz da: 2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 1 = 3 = 0

Meinung von mhaslhofer:

tomCom: "Außerdem gilt das Distributivgesetz da: 2(1+2) = 2*0 = 0 und 2*1 + 2*2 = 2 + 1 = 3 = 0"

Achtung: 2*2 = 0 nicht 1! (die Angabe verlangt nach Multiplikations modulo 4 - die Operationstabelle <M,*> scheint mir korrekt)

Anmerkung von mir:

wie beweist man das Distributivgesetz? Weiß das jemand?

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in $\mathbb {Z} _{6}$ die Beziehung ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle K,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Lösung von Har203

--Har203 01:42, 27. Feb. 2026 (CET) Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{\,{\overline {0}},{\overline {1}},{\overline {2}}\,\}$ mit der Addition modulo $3$ und der Multiplikation modulo $4$.

Die Struktur $\left\langle M,+\right\rangle$ ist isomorph zu $\left\langle \mathbb {Z} _{3},+\right\rangle$, der Gruppe der Restklassen modulo $3$. Diese ist bekanntlich:

• abgeschlossen. $\qquad {\color {green}\surd }$
• assoziativ. $\qquad {\color {green}\surd }$
• hat ein neutrales Element ${\overline {0}}$. $\qquad {\color {green}\surd }$
• zu jedem Gruppenelement existiert ein inverses Element. $\qquad {\color {green}\surd }$
• ist kommutativ. $\qquad {\color {green}\surd }$
• ist auch zyklisch. $\qquad {\color {green}\surd }$

$\implies$ $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine abelsche Gruppe.

Wir schauen uns zuerst einmal die Operationstafeln $\mathbf {({+}{\bmod {3}})}$ an:

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \mathbf {+} &{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\\hline {\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}&{\overline {0}}\\\hline {\overline {2}}&{\overline {2}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline \end{array}}$

Wir schauen uns jetzt die Operationstafeln $\mathbf {({\cdot }{\bmod {4}})}$ an:

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \mathbf {\cdot } &{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\\hline {\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}&{\overline {2}}\\\hline {\overline {2}}&{\overline {0}}&{\overline {2}}&{\overline {0}}\\\hline \end{array}}$

• Anmerkung: Der Unterschied zwischen den Operationen $\mathbf {({\cdot }{\bmod {3}})}$ und $\mathbf {({\cdot }{\bmod {4}})}$ ist, dass hier ${\overline {2}}\cdot {\overline {2}}={\overline {0}}$ resultiert und nicht, wie gewohnt ${\overline {1}}$.

D.h. wir haben einen Nullteiler ${\overline {2}}\cdot {\overline {2}}={\overline {0}}$.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden: $a,\,b,\,c\in M$.

Ring

Für einen Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element) ${\overline {0}},\quad {\color {green}\surd }$
2. $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Die Operation $\cdot$ ist abgeschlossen, da in der Operationstafel nur die Elemente $\{{\overline {0}},\,{\overline {1}},\,{\overline {2}}\}$ enthalten sind.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \;(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Wir schauen uns drei Fälle an:

• Ist bereits ein Operand ${\overline {0}}$, dann ist das Endergebnis von $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)={\overline {0}}$.
• Ist bereits ein Operand ${\overline {1}}$, dann gilt die Gleichung $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$:

$({\overline {1}}\cdot b)\cdot c=b\cdot c,\,(a\cdot {\overline {1}})\cdot c=a\cdot c=a\cdot ({\overline {1}}\cdot c),\,(a\cdot b)\cdot {\overline {1}}=a\cdot b=a\cdot (b\cdot {\overline {1}})$.

• Der letzte Fall ist nur: $({\overline {2}}\cdot {\overline {2}})\cdot {\overline {2}}={\overline {0}}\cdot {\overline {2}}={\overline {0}}={\overline {2}}\cdot {\overline {0}}={\overline {2}}\cdot ({\overline {2}}\cdot {\overline {2}})$.

$\implies$ Bezüglich der Operation $\cdot$ gilt das Assoziativgesetz.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \;(a\cdot b)=(b\cdot a)$.

Da die Operationstafel symmetrisch zur Hauptdiagonale ist, gilt das Kommutativgesetz bezüglich $\mathbf {\cdot }$.

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in M.$

• 1. Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$:

${\begin{alignedat}{1}&{\overline {0}}\cdot (b+c)&=({\overline {0}})&=({\overline {0}}\cdot b)+({\overline {0}}\cdot c)=({\overline {0}})+({\overline {0}})={\overline {0}}.\\&{\overline {1}}\cdot (b+c)&=(b+c)&=({\overline {1}}\cdot b)+({\overline {1}}\cdot c)=b+c.\\&{\overline {2}}\cdot ({\overline {0}}+c)&={\overline {2}}\cdot (c)&=({\overline {2}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {2}}\cdot c)=({\overline {0}})+({\overline {2}}\cdot c)=({\overline {2}}\cdot c).\\&{\overline {2}}\cdot (b+{\overline {0}})&={\overline {2}}\cdot (b)&=({\overline {2}}\cdot b)+({\overline {2}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {2}}\cdot b)+({\overline {0}})=({\overline {2}}\cdot b).\\&{\overline {2}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {1}})&={\overline {2}}\cdot ({\overline {2}})=({\color {red}{\overline {0}}})&=({\overline {2}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {2}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {2}})+({\overline {2}})=({\color {red}{\overline {1}}}).\\&{\overline {2}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {2}})&={\overline {2}}\cdot ({\overline {0}})=({\color {red}{\overline {0}}})&=({\overline {2}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {2}}\cdot {\overline {2}})=({\overline {2}})+({\overline {0}})=({\color {red}{\overline {2}}}).\end{alignedat}}$

$\implies$ Das ${\color {red}1.{\text{ Distributivgesetz}}}$ gilt in dieser Struktur nicht.

• 2. Distributivgesetz: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$:

${\begin{alignedat}{1}&({\overline {1}}+{\overline {2}})\cdot {\overline {2}}=({\overline {0}})\cdot {\overline {2}}={\color {red}{\overline {0}}}=({\overline {1}}\cdot {\overline {2}})+({\overline {2}}\cdot {\overline {2}})={\overline {2}}+{\overline {0}}={\color {red}{\overline {2}}}.\end{alignedat}}$

$\implies$ Das ${\color {red}2.{\text{ Distributivgesetz}}}$ gilt in dieser Struktur nicht.

Zusätze

• Einselement bezüglich $\cdot$: Es gibt ein neutrales Element ${\overline {1}}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\colon \;a\cdot {\overline {1}}={\overline {1}}\cdot a=a$.

• Kommutativität: haben wir schon gezeigt.

$\implies$ $\left\langle M,+\right\rangle$ ist bezüglich der Addition eine abelsche Gruppe mit Einselement.

$\implies$ $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Halbgruppe mit Einselement (ein Monoid).

Für einen Ring bzw. sogar Integritätsring fehlen die beiden Distributivgesetze (1. und 2. Distributivgesetz) und die Eigenschaft Nullteilerfrei:

1. Distributivgesetz gilt nicht:

${\overline {2}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {2}})={\overline {2}}\cdot ({\overline {0}})=({\color {red}{\overline {0}}})=({\overline {2}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {2}}\cdot {\overline {2}})={\overline {2}}+{\overline {0}}={\color {red}{\overline {2}}}$.

2. Distributivgesetz gilt nicht:

$({\overline {1}}+{\overline {2}})\cdot {\overline {2}}=({\overline {0}})\cdot {\overline {2}}=({\color {red}{\overline {0}}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {2}})+({\overline {2}}\cdot {\overline {2}})={\overline {2}}+{\overline {0}}={\color {red}{\overline {2}}}$.

Zusätzlich gibt es bezüglich der Multiplikation einen Nullteiler ${\overline {2}}$ mit ${\overline {2}}\cdot {\overline {2}}={\overline {0}}$.

Für einen Körper mit Einselement ${\overline {1}}\neq {\overline {0}}$ fehlen zusätzlich bezüglich der Multiplikation die inversen Elemente für ${\overline {1}}\neq {\overline {0}}$ für die Gleichung ${\overline {2}}\cdot x=x\cdot {\overline {2}}={\overline {1}},\,x\in M$.

Das Gesamtergebnis $\implies$ $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ ist weder ein Ring, noch ein Integritätsring und auch kein Körper. $\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper

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