TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 421

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{\,0,1\,\}$ mit der Addition $0+0=0,\,0+1=1+0=1,\,1+1=1$ und der Multiplikation modulo $2$ .

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Lösungsvorschlag von neo

$(M,+):$

$+$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$
${\overline {1}}$	${\overline {1}}$	${\overline {1}}$

Aus der Tabelle lässt sich herauslesen:
$\Rightarrow Abgeschlossenheit$
$\Rightarrow Kommutativitaet$
$e={\overline {1}}\Rightarrow neutrales\,Element$

"EINWAND:" 1 ist doch nicht das neutrale Element, oder irre ich mich? 0 verknüpft mit 1 ergibt nicht wieder 0, sondern 1! 0 sollte das neutrale Element sein. Folglich besitzt 1 kein additives inverses, deshalb kann man bei (M, +) gar nicht von einer Gruppe sprechen, geschweige denn bei (M, +, *) von einem (Integritäts-)ring.

$({\overline {0}})^{-1}={\overline {1}},({\overline {1}})^{-1}=1\Rightarrow Inversion$

$(0+1)+1=0+(1+1)$
$1+1=0+1$
$1=1\Rightarrow Assoziativitaet$

$(M,+){\widehat {=}}abelsche\,Gruppe$

Edit: Das neutrale Element der Addition ist ja 0. Daher existiert ja kein inverses Element für 1, da 1 verknüpft mit 0 bzw. 1 nie 0 ergibt.

$(M,*):$

$*$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$
${\overline {0}}$	${\overline {0}}$	${\overline {0}}$
${\overline {1}}$	${\overline {0}}$	${\overline {1}}$

$\Rightarrow Abgeschlossenheit$
$\Rightarrow Kommutativitaet$
$e={\overline {1}}\Rightarrow neutrales\,Element$
$\nexists a\in M\mid {\overline {0}}*a={\overline {1}}\Rightarrow keine\,Inversion$

$(0*1)*1=0(1*1)$
$0*1=0*1$
$0=0$
$\Rightarrow Assoziativitaet$

$(M,*){\widehat {=}}kommutatives\,Monoid$

$\forall a\neq 0,b\neq 0\in M\mid a*b\neq 0\Rightarrow Nullteilerfreiheit$
${\overline {0}}*({\overline {1}}+{\overline {1}})={\overline {0}}*{\overline {1}}+{\overline {0}}*{\overline {1}}$
${\overline {0}}*{\overline {1}}={\overline {0}}+{\overline {0}}$
${\overline {0}}={\overline {0}}$
${\overline {1}}*({\overline {0}}+{\overline {1}}={\overline {1}}*{\overline {0}}+{\overline {1}}*{\overline {1}}$
${\overline {1}}*{\overline {1}}={\overline {0}}+{\overline {1}}$
${\overline {1}}={\overline {1}}$
$\Rightarrow Distributitvitaet$

$(M,+,*){\widehat {=}}Integritaetsring$

Hilfsmittel von Har203

Abelsche Gruppe

Abelsche Gruppe

Eine Abelsche Gruppe $(G,\circ )$ mit Funktion $\circ :G\times G\rightarrow G$ ist

• abgeschlossen bzgl. der Operation $\circ$ in $G$ mit $a,b\in G$ gilt $a\circ b\in G$
• assoziativ: $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$
• besitzt ein neutrales Element $e$: $\exists e\in G:\forall a\in G:a\circ e=e\circ a=a$
• besitzt inverse Elemente $a^{-1}$ bzw. $a'$: $\forall a\in G:\exists a^{-1}\in G:a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$
• sowie ist in allen Formen kommutativ bzw. abelsch: $\forall a,b\in G:a\circ b=b\circ a$

Ring

Ring

Ein Ring $(R,+,\cdot )$ ist eine Menge $R$ mit zwei binären Operationen $+$ und $\cdot$, sodass

• $(R,+)$ eine kommutative Gruppe ist,
• $(R,\cdot )$ eine Halbgruppe ist,
• die Distributivgesetze

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$ und

$(a+b)\cdot c=(a\cdot c)+(b\cdot c)$

für alle $a,b,c\in R$ gelten.

Nullteiler

In einem Ring kann das Produkt zweier von $0$ verschiedener Elemente trotzdem $0$ sein. Z.B. gilt in $\mathbb {Z} _{6}$ die Beziehung ${\overline {2}}\cdot {\overline {3}}={\overline {6}}={\overline {0}}$. Man nennt im Allgemeinen ein Element $a\neq 0$ eines Ringes $R$ Nullteiler, wenn es ein $b\neq 0$ aus $R$ gibt, so dass $a\cdot b=0$ oder $b\cdot a=0$ ist. Dieses $b$ ist damit natürlich auch ein Nullteiler. Ringe ohne Nullteiler werden gesondert betrachtet.

Integritätsring

Integritätsring

Kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler.

Körper

Ein kommutativer Ring $\left\langle K,+,\cdot \right\rangle$ mit Einselement $1\neq 0$, in dem jedes Element $a\neq 0$ eine Einheit ist, also ein multiplikatives Inverses besitzt, heißt ein Körper.

Lösung von Har203

--Har203 19:27, 27. Feb. 2026 (CET)

Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:

$M=\{\,0,1\,\}$ mit der Addition $0+0=0,\,0+1=1+0=1,\,1+1=1$ und der Multiplikation modulo $2$ .

Z.z.: $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine abelsche Gruppe:

Wir schauen uns zuerst einmal die Operationstafeln $\mathbf {(+)}$ an:

${\begin{array}{|c|c|}\hline \mathbf {+} &{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {1}}&{\overline {1}}&{\overline {1}}\\\hline \end{array}}$

Wir schauen uns jetzt die Operationstafeln $\mathbf {({\cdot }{\bmod {2}})}$ an:

${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline \mathbf {\cdot } &{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline {\overline {0}}&{\overline {0}}&{\overline {0}}\\\hline {\overline {1}}&{\overline {0}}&{\overline {1}}\\\hline \end{array}}$

Wie aus der Operationstafel der Multiplikation erkennbar ist, gibt es keine Nullteiler:

Anmerkung: D.h. es befindet sich in keiner Zeile oder Spalte der Tafel ungleich dem neutralen Element ${\overline {0}}$ ein Eintrag ${\overline {0}}$. In dieser kleinen Tafel gäbe es sowieso nur die Position ${\overline {1}}\cdot {\overline {1}}$, an welcher ein Nullteiler stehen könnte.

Für die weiteren Beweise werden wir folgende drei Variablen aus der Menge $M$ verwenden: $a,\,b,\,c\in M$.

Gruppe

Zuerst die Gruppe mit den geforderten Gruppenaxiomen in $\left\langle M,+\right\rangle$:

1. Abgeschlossen: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \;(a+b)\in M$.
2. Assoziativität: $\forall \,a,b,c\,\in M$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$.
3. Existenz eines neutralen Elementes bezüglich der Addition: Es gibt ein neutrales Element: $0\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+0=0+a=a$.
4. Für alle Gruppenelemente $a$ existiert ein inverses Element: $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a=0$.
5. Kommutativität: Für alle Elemente $a,\,b\in M$ gilt$\colon \,(a+b)=(b+a)$

• Abgeschlossenheit bezüglich $\mathbf {+}$:

Da in der Operationstafel nur Elemente aus $\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}$ enthalten sind, ist die Operation $(+)$ abgeschlossen.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {+}$:

$\,\forall \,a,b,c\,\in M\,$ gilt$\colon \,(a+b)+c=a+(b+c)$

Da es sich um die die logische ODER-Operation handelt, welche assoziativ ist, ist auch diese Addition assoziativ.

$\colon \,({\overline {0}}+{\overline {0}})+{\overline {0}}={\overline {0}}={\overline {0}}+({\overline {0}}+{\overline {0}})$.

• Existenz eines neutralen Elementes bezüglich $\mathbf {+}$: Es gibt ein neutrales Element ${\overline {0}}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a+{\overline {0}}={\overline {0}}+a=a$.

• Inverse Element: Für alle Elemente $a\in \left\langle M,+\right\rangle$ existiert ein inverses Element:

$\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,\exists \,(-a)\in M$ mit$\colon \,a+(-a)=(-a)+a={\overline {0}}$.

Für ${\overline {1}}$ gibt es ${\color {red}{\text{kein inverses Element}}}$. Damit ist die Gleichung ${\overline {1}}+x=x+{\overline {1}}={\overline {0}}$ mit $x\in M$ nicht lösbar.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {+}$: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \;a+b=b+a$.

Da die Operationstafel von der Addition symmetrisch zur Hauptdiagonale ist, folgt daraus, dass $\left\langle M,+\right\rangle$ kommutativ ist.

$a+b=b+a,\,\forall a,b\in M$.

$\implies$ $\mathbf {\left\langle M,+\right\rangle }$ ist eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element, aber keine Gruppe, da es kein inverses Element gibt.

Ring

Für einen Ring $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ werden wir folgende drei Eigenschaften prüfen:

1. $\left\langle M,+\right\rangle$ ist eine kommutative Gruppe mit neutralem Element ${\overline {0}})\colon {\color {red}{\text{ diese Voraussetzung ist nicht erfüllt}}}$.
2. $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist eine Halbgruppe, und
3. es gelten die Distributivgesetze

• Abgeschlossenheit: Die Operationstafel von $(\cdot )$ ist abgeschlossen, da in der Operationstafel nur Elemente aus $\{{\overline {0}},{\overline {1}}\}$ enthalten sind.

• Assoziativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$:

$\,\forall \,a,b,c\,\in M\,$ gilt$\colon \,(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.

Da das Ergebnis der Multiplikation nur bei ${\overline {1}}\cdot {\overline {1}}$ den Wert ${\overline {1}}$ annimmt, genügt zu zeigen, dass gilt:

$\colon \,({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})\cdot {\overline {1}}={\overline {1}}={\overline {1}}\cdot ({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})\implies$ Bezüglich der Operation $\cdot$ gilt das Assoziativgesetz.

• Kommutativität bezüglich $\mathbf {\cdot }$: $\forall \,a,b\,\in M$ gilt$\colon \,(a\cdot b)=(b\cdot a)$.

Da die einzelnen Elemente $a\in M$ in der Operationstafel an der Hauptdiagonale gespiegelt sind, gilt das Kommutativgesetz bezüglich $\mathbf {\cdot }$.

• Für die beiden Distributivgesetze müssen folgende Eigenschaften gelten:

$\left.{\begin{aligned}a\cdot (b+c)&=a\cdot b+a\cdot c\\(a+b)\cdot c&=a\cdot c+b\cdot c\end{aligned}}\qquad \right\rbrace \qquad \forall \,a,b,c\in M.$

• 1. Distributivgesetz: $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$:

${\begin{alignedat}{1}&{\overline {0}}\cdot ({\overline {0}}+{\overline {0}})={\overline {0}}\cdot ({\overline {0}})=({\overline {0}})=({\overline {0}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {0}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&{\overline {0}}\cdot ({\overline {0}}+{\overline {1}})={\overline {0}}\cdot ({\overline {1}})=({\overline {0}})=({\overline {0}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {0}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&{\overline {0}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {0}})={\overline {0}}\cdot ({\overline {1}})=({\overline {0}})=({\overline {0}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {0}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&{\overline {0}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {1}})={\overline {0}}\cdot ({\overline {1}})=({\overline {0}})=({\overline {0}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {0}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&{\overline {1}}\cdot ({\overline {0}}+{\overline {0}})={\overline {1}}\cdot ({\overline {0}})=({\overline {0}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {1}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&{\overline {1}}\cdot ({\overline {0}}+{\overline {1}})={\overline {1}}\cdot ({\overline {1}})=({\overline {1}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {0}})+({\overline {1}})=({\overline {1}})\\&{\overline {1}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {0}})={\overline {1}}\cdot ({\overline {1}})=({\overline {1}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {1}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {1}})+({\overline {0}})=({\overline {1}})\\&{\overline {1}}\cdot ({\overline {1}}+{\overline {1}})={\overline {1}}\cdot ({\overline {1}})=({\overline {1}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {1}})+({\overline {1}})=({\overline {1}})\\\end{alignedat}}$

$\implies$ Das $1$. Disributivgesetz gilt in dieser Struktur.

• 2. Distributivgesetz: $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$:

${\begin{alignedat}{1}&({\overline {0}}+{\overline {0}})\cdot {\overline {0}}=({\overline {0}})\cdot {\overline {0}}=({\overline {0}})=({\overline {0}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {0}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&({\overline {0}}+{\overline {0}})\cdot {\overline {1}}=({\overline {0}})\cdot {\overline {1}}=({\overline {0}})=({\overline {0}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {0}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&({\overline {0}}+{\overline {1}})\cdot {\overline {0}}=({\overline {1}})\cdot {\overline {0}}=({\overline {0}})=({\overline {0}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {1}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&({\overline {0}}+{\overline {1}})\cdot {\overline {1}}=({\overline {1}})\cdot {\overline {1}}=({\overline {1}})=({\overline {0}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {0}})+({\overline {1}})=({\overline {1}})\\&({\overline {1}}+{\overline {0}})\cdot {\overline {0}}=({\overline {1}})\cdot {\overline {0}}=({\overline {0}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {0}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&({\overline {1}}+{\overline {0}})\cdot {\overline {1}}=({\overline {1}})\cdot {\overline {1}}=({\overline {1}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {0}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {1}})+({\overline {0}})=({\overline {1}})\\&({\overline {1}}+{\overline {1}})\cdot {\overline {0}}=({\overline {1}})\cdot {\overline {0}}=({\overline {0}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {0}})+({\overline {1}}\cdot {\overline {0}})=({\overline {0}})+({\overline {0}})=({\overline {0}})\\&({\overline {1}}+{\overline {1}})\cdot {\overline {1}}=({\overline {1}})\cdot {\overline {1}}=({\overline {1}})=({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})+({\overline {1}}\cdot {\overline {1}})=({\overline {1}})+({\overline {1}})=({\overline {1}})\\\end{alignedat}}$

$\implies$ Das $2$. Disributivgesetz gilt in dieser Struktur.

Zusätze

• Einselement bezüglich $\mathbf {\cdot }$: Es gibt ein neutrales Element ${\overline {1}}\in M$ mit $\forall \,a\in M$ gilt$\colon \,a\cdot {\overline {1}}={\overline {1}}\cdot a=a$.

• Kommutativität: haben wir bereits gezeigt.

$\implies$ $\left\langle M,+\right\rangle$ ist bezüglich der Addition eine kommutative Halbgruppe mit Einselement (ein Monoid), aber keine Gruppe als Voraussetzung für einen Ring.

$\implies$ $\left\langle M,\cdot \right\rangle$ ist bezüglich der Multiplikation eine kommutativen Halbgruppe mit Einselement (ein Monoid). Die beiden Distributivgesetze gelten ebenfalls.

Für einen Ring, Integritätsring bzw. sogar einen Körper fehlt bezüglich der Addition das inverse Element.

Das Gesamtergebnis $\implies$ $\left\langle M,+,\cdot \right\rangle$ ist weder ein Ring, noch ein Integritätsring und auch kein Körper. $\qquad \qquad \blacksquare$

• Anmerkung: Die Operation $+$ ist isomorph zur Operation oder $(\lor )$ und $\cdot$ zu und $(\land )$. Es wird sich um einen distributiven Verband handeln. Für eine Boolesche Algebra fehlt das Komplement. Das additive Verhalten passt nicht zur Booleschen Algebra$\colon \,1+1=1\neq 0$.

Links

Wikipedia:

• Gruppe
• Abelsche Gruppe
• Ring
• Nullteiler
• Integritätsring
• Körper
• Verband
• Distributiver Verband
• Boolesche_Algebra

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