TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 493

Zeigen Sie, daß $B=\{\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)\}$eine Basis des ${ℝ}^3$ ist.

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Hilfreiches

Definition Basis

Eine Teilmenge von B einees Vektorraums V heißt Basis von V, wenn sie linear unabhängig ist und ihre lineare Hülle [B] gleich V ist.

lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin [M\mathrm{\setminus }\{v\}]\mathrm{\forall }v\in M$

lineare Unabhängigkeit

Eine Menge von Vektoren ist linear unabhängig, wenn es keinen Vektor v in der Menge M gibt, der durch Linearkombinationen der anderen Vektoren der Menge dargestellt werden kann.
Mathematisch ausgedrückt:

Um zu zeigen, dass die Vektoren unabhängig sind, muss man beweisen, dass die Linearkombination

${\lambda }_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+{\lambda }_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2+\cdots +{\lambda }_n\cdot {\overrightarrow{v}}_n=\overrightarrow{0}$

trivial ist, d.h. dass ${\lambda }_1={\lambda }_2=\cdots ={\lambda }_n=0$

Lösungsvorschlag

Lt. Definition muss gezeigt werden, dass die Menge B

• linear unabhängig ist
• die lineare Hülle von B gleich ${ℝ}^3$ ist

lineare Unabhängigkeit

Nun rechnen wir einmal die Koeffizienten der folgenden Linearkombination aus

${\lambda }_1\cdot {\overrightarrow{v}}_1+{\lambda }_2\cdot {\overrightarrow{v}}_2+{\lambda }_3\cdot {\overrightarrow{v}}_3=\overrightarrow{0}$

${\lambda }_1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+{\lambda }_2\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)+{\lambda }_3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\overrightarrow{0}$

Das kann man nun als folgendes Gleichungssystem umschreiben:

${\lambda }_1\cdot 1+{\lambda }_2\cdot 2+{\lambda }_3\cdot 4=0\Rightarrow {\lambda }_1=-{\lambda }_2\cdot 2-{\lambda }_3\cdot 4$

${\lambda }_1\cdot 2+{\lambda }_2\cdot 4+{\lambda }_3\cdot 2=0$

${\lambda }_1\cdot 4+{\lambda }_2\cdot 1+{\lambda }_3\cdot 1=0$

aus der ersten Gleichung wird ${\lambda }_1$ ausgedrückt und in die verbleibenden Gleichungen eingesetzt:

$(-{\lambda }_2\cdot 2-{\lambda }_3\cdot 4)\cdot 2+{\lambda }_2\cdot 4+{\lambda }_3\cdot 2=0$

$(-{\lambda }_2\cdot 2-{\lambda }_3\cdot 4)\cdot 4+{\lambda }_2\cdot 1+{\lambda }_3\cdot 1=0$

das ergibt: $-{\lambda }_3\cdot 7=0\Rightarrow {\lambda }_3=0$

$-{\lambda }_2\cdot 5=0\Rightarrow {\lambda }_2=0$

und schlussendlich auch:

${\lambda }_1=-0\cdot 2-0\cdot 4=0$

$\Rightarrow$ B ist linear unabhängig

linear Hülle

Nun muss man noch zeigen, dass die lineare Hülle von B gleich ${ℝ}^3$ ist.

Um zu zeigen, dass zwei Mengen A, B identisch sind, geht man überlicherweise den Weg, dass man zeigt, dass A Teilmenge von B ist und umgekehrt:

$A=B\iff A\subseteq B\wedge B\subseteq A$

D.h. in unserem Fall ist zu zeigen, dass $[B]\subseteq {ℝ}^3\wedge {ℝ}^3\subseteq [B]$ gilt

Der erste Fall $[B]\subseteq {ℝ}^3$

Dazu überlegt man sich, ob alle möglichen Linearkombinationen innerhalb von ${ℝ}^3$ liegen

${\lambda }_1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+{\lambda }_2\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)+{\lambda }_3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\overrightarrow{x}$

umgeschrieben bedeutet das:

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{\lambda }_1\cdot 1+{\lambda }_2\cdot 2+{\lambda }_3\cdot 4\\ {\lambda }_1\cdot 2+{\lambda }_2\cdot 4+{\lambda }_3\cdot 2\\ {\lambda }_1\cdot 4+{\lambda }_2\cdot 1+{\lambda }_3\cdot 1\end{array}\right)$

Man sieht also, ganz egal, wie man ${\lambda }_i$ wählt (solange man beachtet, dass ${\lambda }_i\in ℝ$ ) gilt $\overrightarrow{x}\in {ℝ}^3$

$\Rightarrow [B]\subseteq {ℝ}^3$

Der zweite Fall ${ℝ}^3\subseteq [B]$

Der Fall ist etwas komplizierter. Man muss beweisen, dass sämtliche Vektoren aus ${ℝ}^3$ auch in [B] enthalten sind. Dazu zeigt man, dass man jeden beliebigen Vektor aus ${ℝ}^3$ durch eine Linearkombination aus B bilden kann. Man beginnt mit der selben Gleichung wie zuvor:

${\lambda }_1\cdot \left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 4\end{array}\right)+{\lambda }_2\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 4\\ 1\end{array}\right)+{\lambda }_3\cdot \left(\begin{array}{c}4\\ 2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$

Das ergibt folgendes Gleichungssystem:

${\lambda }_1\cdot 1+{\lambda }_2\cdot 2+{\lambda }_3\cdot 4=x_1$

${\lambda }_1\cdot 2+{\lambda }_2\cdot 4+{\lambda }_3\cdot 2=x_2$

${\lambda }_1\cdot 4+{\lambda }_2\cdot 1+{\lambda }_3\cdot 1=x_3$

Nun berechnet man aus diesem System die ${\lambda }_i$. Ich erspare mir hier die einzelnen Rechenschritte und präsentiere nur die Ergbnisse:

${\lambda }_1=\frac{-x_1-x_2+6\cdot x_3}{21}$

${\lambda }_2=\frac{-2\cdot x_1+5\cdot x_2-2\cdot x_3}{14}$

${\lambda }_3=\frac{2\cdot x_1-x_2}{6}$

Anhand von diesen Ergebnis erkennt man, dass man für jeden beliebigen Vektor aus ${ℝ}^3$ die ${\lambda }_i$ berechnen kann und dabei gilt, dass ${\lambda }_i\in ℝ$

$\Rightarrow {ℝ}^3\subseteq [B]$

und damit folgt schlußendlich: ${ℝ}^3=[B]$

anderer Lösungsansatz

Ich bin mir nicht ganz sicher, aber mein Ansatz wäre: B beinhaltet auch alle Vektoren aus V wenn er die kanonische Basis (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) beinhaltet.

Mit Lambda -1/21 -1/7 und 1/3 komme ich auf den ersten. Mit -1/21 5/14 und -1/6 auf den zweiten Einheitsvektor. Mit 2/7 -1/7 und 0 auf den dritten.

Und aus diesen drei Einheitsvektoren kann ich über Linearkombinationen alle Vektoren konstruieren.

Hilfreiches von Har203

Basis

Basis

Eine Basis $B=\{\overrightarrow{b_1},\overrightarrow{b_2},\dots ,\overrightarrow{b_n}\}$ ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem eines Vektorraumes mit $\mathrm{\forall }\overrightarrow{x}\in$ Vektorraum: $\mathrm{\exists }{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n\in K$ ($K$ Körper): $\overrightarrow{x}={\lambda }_1\overrightarrow{b_1}+{\lambda }_2\overrightarrow{b_2}+\cdots +{\lambda }_n\overrightarrow{b_n},$(${\lambda }_i$ eindeutig bestimmt).

Lineare Unabhängigkeit Matrix

Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten einer quadratischen Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix.
[1] Hauptartikel: [Matrix (Zeilen und Spalten)]

Determinante

Determinante Eigenschaften

• Eigenschaften der Determinante

1. $detE=1$ für Einheitsmatrix $E$
2. $det\left(A^{\mathsf{\text{𝖳}}}\right)=det(A)$, wobei $A^{\mathsf{\text{𝖳}}}$ die transponierte Matrix von $A$ ist.
3. $det\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{det(A)}.$
4. Für quadratische Matrizen $A$ und $B$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   $det(AB)=det(A)det(B)$.

5. $det(cA)=c^{n}det(A)$ für eine $n\times n$ Matrix $A$ und eine Zahl $c$.
6. Für eine Dreiecksmatrix $A$ gilt $det(A)=a_{11}{a}_{22}\cdots a_{nn}$.
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen, ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich, ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen), so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind $v_1,\dots ,v_n$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und $c$ eine Zahl, so gelten:

    a1) $det(v_1+w,v_2,\dots ,v_n)=det(v_1,v_2,\dots ,v_n)+det(w,v_2,\dots ,v_n)$,

    a2) $det(c{v}_1,v_2,\dots ,v_n)=cdet(v_1,v_2,\dots ,v_n)$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) $det(v_1,\dots ,v_n)$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n = 2) des von den Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauß-Algorithmus zu einer Dreiecksmatrix umformen und Eigenschaft 6 zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaften 9 und 10.a2).
12. Nur für $3\times 3$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus

Elementare Spalten-/Zeilenumformungen

Elementare Spalten- und Zeilenumformungen werden etwa beim Gauß'schen Eliminationsverfahren verwendet. Für die nachfolgenden Beispiele sei $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$ $det(A)=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 4\end{array}\right|=2\ast 4-1\ast 3=5$ Die Beispiele sind anhand von Spaltenumformungen.

1. Multipliziert man eine Spalte/Zeile einer Matrix $\lambda$ mit einem Faktor $\lambda \in K$, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A^{\prime })=\lambda \ast det(A)$. z.B.: $\lambda =3$ multipliziert mit 1. Spalte: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}6& 1\\ 9& 4\end{array}\right|=6\ast 4-1\ast 9=15$
2. Addiert man zu einer Spalte/Zeile einer Matrix das Vielfache einer anderen Spalte/Zeile, so verändert sich der Wert der Determinante nicht. z.B.: zwei Mal erste Spalte zu zweiter: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}2& 5\\ 3& 10\end{array}\right|=2\ast 10-3\ast 5=5$
3. Vertauscht man in einer Matrix A zwei Spalten/Zeilen, so ist die Determinante der neuen Matrix $det(A_r)=-det(A)$. z.B. erste mit zweiter Spalte vertauscht: $det{A}^{\prime }=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 4& 3\end{array}\right|=1\ast 3-2\ast 4=-5$

Lineare Hülle

Die lineare Hülle [M] einer Menge M (eine Menge von Vektoren) ist die Menge der Vektoren, die durch Linearkombinationen der Vektoren aus M gebildet werden können.

$v\notin [M\mathrm{\setminus }\{v\}]\mathrm{\forall }v\in M$

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 02:21, 10. Feb. 2026 (CET)

Zeigen Sie, dass $B=\{(1,2,4),(2,4,1),(4,2,1)\}$ eine Basis des $R^3$ ist.

Für eine lineare Unabhängigkeit von mehreren Vektoren (Anzahl der Vektoren $n\in \mathbb{N}$) darf die nachstehende Gleichung nur die triviale Lösung haben:

${\lambda }_1\cdot \overrightarrow{v_1}+{\lambda }_2\cdot \overrightarrow{v_2}+\dots +{\lambda }_n\cdot \overrightarrow{v_n}=\overrightarrow{0}$ mit ${\lambda }_i=0,\mathrm{\forall }i\in \{1,\dots ,n\}.$.

Zu zeigen ist, dass die angegebenen drei Vektoren ein System von linear unabhängigen Vektoren aus ${ℝ}^3$ bilden.

Dafür werden wir eine $(3\times 3)$-Matrix $A$ mit den drei Vektoren als Spaltenvektoren aufstellen und überprüfen, ob diese drei Vektoren linear unabhängig sind.

Eine Variante führt uns direkt über die Determinante und eine andere über Spalten- bzw. Zeilenumformungen der Matrix $A$.

$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 4& 2\\ 4& 1& 1\end{array}\right)$.

Determinante

Nach der Regel von Sarrus ist die Determinante von $A,det(A)=-42\ne 0$.

$⟹$ Die Matrix ist regulär (invertierbar) und hat damit den vollen Spaltenrang $\mathrm{rk}(A)=3$, also sind alle drei Vektoren linear unabhängig und spannen den gesamten ${ℝ}^3$ auf.

Diese Schlussfolgerungen erfüllen bereits ausreichend die Aufgabenstellung. $◼$

Matrix-Umformungen

Wir formen die Matrix $A$ auf eine Stufenmatrix um und beurteilen, wie viele Vektoren linear unabhängig sind. Hier führe ich die Umformungen bis zur Einheitsmatrix durch.

$\begin{array}{cccc}A=& \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 2& 4& 2\\ 4& 1& 1\end{array}\right)\begin{array}{c}\to Z1\\ Z2-2\cdot Z1\to Z2\\ Z3-2\cdot Z2\to Z3\end{array}\to & \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 0& 0& -6\\ 0& -7& -3\end{array}\right)\begin{array}{c}Z1+(2/7)\cdot Z3\to Z1\\ (-1/6)\cdot Z2\to Z2\\ Z3-(1/2)\cdot Z2\to Z3\end{array}\to & \left(\begin{array}{ccc}1& 0& (22/7)\\ 0& 0& 1\\ 0& -7& 0\end{array}\right)\end{array}$

Anmerkung: Die Zeilen "Z2" und "Z3" sind für eine "übliche" Stufenmatix vertauscht und in der Hauptdiagonale stehen Werte mit $\ne 0$. Das ist mathematisch natürlich gleich bedeuten mit einer "normalen" Stufenmatrix. Wir müssen nur die beiden Zeilen "Z2" und "Z3" vertauschen und die neue Zeile "Z2" durch den Wert der Hauptdiagonale (hier $(-7)$) dividieren und schon haben wir die "üblich" Stufenmatrix.

Das heißt alle drei Vektoren sind linear unabhängig und als Basis für den Vektorraum ${ℝ}^3$ geeignet.

Auch hier erfüllen alle Schlussfolgerungen die Aufgabenstellung. $◼$

Lineare Hülle

Zusätzlich muss die lineare Hülle den gesamten Raum ${ℝ}^3$ aufspannen. Das bedeutet drei linear unabhängige Vektoren in einem 3-dimensionalen Raum spannen den Raum automatisch auf.

Sei $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)$ ein beliebiger Vektor aus dem Vektorraum ${ℝ}^3$. Die Darstellung dieses Vektors $\overrightarrow{x}$ ist eindeutig durch die Linearkombination definiert.

D.h., dass wir die Werte für ${\lambda }_i,i=\{1,2,3\}$ in der Linearkombination der drei linear unabhängigen Basisvektor für einen gesuchten Vektor $\overrightarrow{x}=(x_1,x_2,x_3)$ in eindeutiger Weise erhalten. D.h. jeder Vektor aus ${ℝ}^3$ hat infolge der linearen Unabhängigkeit der drei Basisvektoren eine eindeutige Darstellung.

Links

Wikipedia:

• Basis
• Linearkombination
• Lineare Unabhängigkeit
• Lineare Unabhängigkeit: Matrix (Spalten und Zeilen)

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_494
• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_495
• siehe auch Lösung aus früherem Semester; dort wird der Beweis über den Rang der Matrix geführt
• Datei:Mathe1-sol.pdf