Untersuchen Sie, ob die folgenden Strukturen Ringe, Integritätsringe bzw. Körper sind:
mit der Addition modulo 3 und dem Produkt
für alle
.
Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier:
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{{Beispiel|1=
Angabetext
}}
oder
{{Beispiel|
Angabetext
}}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}
Lösung ist von Beispiel 317 übernommen, nur für die etwas geänderte Angabe angepasst
(Definition 2.61)
Eine algebraische Struktur
ist ein Ring, wenn:
ist eine kommutative Gruppe (mit neutralem Element 0) (Anm.: = "abelsche Gruppe"),
ist eine Halbgruppe,
- es gelten die Distributivgesetze:
![{\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=d930c965d1cfe4535c8c68c96dd78120&mode=mathml)
![{\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=a6205adf09a24dacf153775eab4c805b&mode=mathml)
besitzt ein neutrales Element (= Monoid)
ist kommutativ
(Definition 2.64)
- kommutativer Ring mit Einselement ohne Nullteiler
(Definition 2.66)
- Integritätsring mit multiplikative Inversen
![{\displaystyle \forall a\in R}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=39d1b51710856bc78032ca2994bac0ce&mode=mathml)
(Definition 2.37)
- Halbgruppe
- Monoid
- assoziativ, neutrales Element
- Gruppe
- assoziativ, neutrales Element, inverses Element
- abelsche Gruppe
- assoziativ, neutrales Element, inverses Element (Anmerkung: muss auch kommutativ sein oder?)
(Definition 2.34)
- assoziativ
![{\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=b4da07dc62b7eb92ef13b39997d1d936&mode=mathml)
- neutrales Element
![{\displaystyle e\circ a=a\circ e=a}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=c7861ca64da05872336bb9b4a6bc07bb&mode=mathml)
- inverses Element
![{\displaystyle a\circ a'=a'\circ a=e}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=8f6f6dff93965b21a6034f1c8ebf7498&mode=mathml)
- kommutativ
![{\displaystyle a\circ b=b\circ a}](/index.php?title=Spezial:MathShowImage&hash=f84f95be1f271f154b60f08c672442c1&mode=mathml)
von --Vodi 18:12, 12. Dez. 2010 (CET)
angepasst von --MatheFreak 23:12, 15. Dez. 2010 (CET)
Als erstes Überprüfen wir einmal, ob M ein Ring ist.
Jetzt überprüfen wir, ob
eine abelsche Gruppe ist.
(Achtung: Addition modulo 3!) *Edit peter1058: von modulo 2 auf modulo 3 geändert --> Angabe!
Operationstafel:
w.A.
w.A.
Null ist neutrale Element und daher automatisch zu sich selbst invers.
w.A.
(zu alle Elementen in M existiert auch ein Inverses)
w.A.
Alle vier Anforderungen erfüllt:
ist eine abelsche Gruppe
Jetzt müssen wir überprüfen, ob
eine Halbgruppe ist.
Wieder eine Operationstafel:
Da
w.A.
Jetzt überprüfen wir, ob die Distributivgesetze gelten:
f.A.
es ist nicht distributiv, daher kann es kein Ring und in weiterer Folge auch kein Integritätsring oder Körper sein