TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 550
Wir betrachten Systeme von drei Ebenengleichungen mit Lösungsmengen . Geben Sie jeweils eine Systemmatrix
mit geeigneten und aus so an, dass die folgende Lage zueinander haben:
(a)
(b) , und alle drei Schnitte und sind eindimensional und parallel zur z-Achse.
{{Beispiel|1= Angabetext }}
oder
{{Beispiel| Angabetext }}
zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)
{{Beispiel|status=solved|1= Angabetext }}
Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
von --Piri (Diskussion) 20:03, 29. Dez. 2018 (CET)
(a) Da es nur eine Lösung gibt müssen die 3 Ebenengleichungen linear unabhängig sein. Weiters, muss eine Lösung für alle 3 Gleichungen sein. D.h. man muss nur Koeffizienten finden, sodass die Systemmatrix eindeutig lösbar ist. Man sieht schnell dass die kanonischen Basisvektoren als Spaltenvektoren und diese Eigenschaften erfüllen:
(b) Aus der Angabe ergeben sich 3 Bedingungen:
1. Je zwei Zeilenvektoren sind zueinander linear unabhängig (sonst wären sie geschnitten keine Gerade)
2. , da sonst die Ebenen geschnitten keine Gerade parallel zur Z Achse ergeben würden.
3. Das gesamte Gleichungssystem ist nicht lösbar, also
Es ist wieder hilfreich sich zuerst die Kanonische Basis aufzuschreiben und sie dann so abzuwandeln bis man zum Ergebnis kommt: