TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 553

Wir betrachten Systeme von drei Ebenengleichungen $f_{i}(x,y,z)=a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot y+a_{i3}\cdot z=b_{i}$ mit Lösungsmengen $L_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{3},i=1,2,3$ . Geben Sie jewells elne Systemmatrix

$\left({\begin{array}{llll}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_{3}\end{array}}\right)$

mit geeigneten $a_{ij}$ und $b_{i}$ aus $\mathbb {R}$ so an, dass die $L_{i}$ folgende Lage zueinander haben:

(a) $L_{1}\cap L_{2}=L_{1}\cap L_{3}=L_{2}\cap L_{3}$ ist die $z$ -Achse.
(b) $L_{1}\cap L_{2}=\emptyset$ und $L_{1}\cap L_{3}\neq \emptyset \neq L_{2}\cap L_{3}$ .

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

$\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
$(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
$(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
$1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

$U\neq \varnothing$
${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Ebene

In der analytischen Geometrie wird jeder Punkt im dreidimensionalen Raum mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Koordinatentripel $(x,y,z)$ identifiziert. Eine Gleichung mit den Unbekannten $x$ , $y$ und $z$ beschreibt dann eine Menge von Punkten im Raum, und zwar diejenigen Punkte, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Ebenen sind nun dadurch ausgezeichnet, dass es sich bei einer solchen Gleichung um eine Gleichung lineare Gleichung handelt. Zur Notation von Ebenen werden verschiedene Schreibweisen verwendet. Die vor allem in der Schulmathematik gebräuchliche Schreibweise

E\colon \,2x+3y=z

bedeutet, dass die Ebene $E$ aus denjenigen Punkten besteht, deren Koordinaten $(x,y,z)$ die Ebenengleichung $2x+3y=z$ erfüllen. Die in der höheren Mathematik verwendete Mengenschreibweise lautet entsprechend

E=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x+3y=z\}.

Für Ebenengleichungen gibt es unterschiedliche Darstellungsformen, je nachdem welche Kenngrößen der Ebene vorgeschrieben sind.
[*] Hauptartikel: Ebenengleichung

Lineares Gleichungssystem

Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten immer in die folgende Form bringen:

{\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}

Lineare Gleichungssysteme werden als homogen bezeichnet, wenn alle $b_{i}$ gleich 0 sind, andernfalls als inhomogen. Homogene Gleichungssysteme besitzen stets mindestens die sogenannte triviale Lösung, bei der alle Variablen gleich 0 sind. Bei inhomogenen Gleichungssystemen kann dagegen der Fall eintreten, dass überhaupt keine Lösung existiert.
[*] Hauptartikel: Lineares Gleichungssystem

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 00:56, 5. Mär. 2026 (CET)

Wir betrachten Systeme von drei Ebenengleichungen $f_{i}(x,y,z)=a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot y+a_{i3}\cdot z=b_{i}$ mit Lösungsmengen $L_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{3},i=1,2,3$ . Geben Sie jewells elne Systemmatrix

\left({\begin{array}{llll}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_{3}\end{array}}\right)

mit geeigneten $a_{ij}$ und $b_{i}$ aus $\mathbb {R}$ so an, dass die $L_{i}$ folgende Lage zueinander haben:

(a) $L_{1}\cap L_{2}=L_{1}\cap L_{3}=L_{2}\cap L_{3}$ ist die $z$ -Achse.

(b) $L_{1}\cap L_{2}=\emptyset$ und $L_{1}\cap L_{3}\neq \emptyset \neq L_{2}\cap L_{3}$ .

ad a) $L_{1}\cap L_{2}=L_{1}\cap L_{3}=L_{2}\cap L_{3}$ ist die $z$ -Achse.

Grundidee: Wir nehmen zuerst die $xz$ - und die $yz>-EbenealsgegebenundeinedritteEbenedieindiesementstandenenKreuz<math>\mathbb {X}$ dazwischen positioniert wird. Z.B. die $1$ . Winkelhalbierende bei (\pi/4) \equiv 45^\circ) in der $xy$ -Ebene.

Die 1.Ebene ist die $xz$ -Ebene mit $x,\,z$ beliebig und mit $y=0$ .
Die 2.Ebene ist die $yz$ -Ebene mit $y,\,z$ beliebig und mit $x=0$ .
Die 3.Ebene ist in der $xy$ -Ebene die $1$ . Winkelhalbierende bei (\pi/4) \equiv 45^\circ) mit $z$ beliebig und mit $x-y=0$ .

Für unsere Matrix $A_{1}$ bedeutet das folgende drei Gleichungen für $x,\,y,\,z$ :

A_{1}=\left({\begin{array}{ccc|c}0&1&0&0\\1&0&0&0\\1&-1&0&0\end{array}}\right)

.

ad b) $L_{1}\cap L_{2}=\emptyset$ und $L_{1}\cap L_{3}\neq \emptyset \neq L_{2}\cap L_{3}$ .

Die Grundidee:

Wir nehmen zuerst die $L_{1}\colon \,xz$ - und die $L_{3}\colon \,yz>-EbenealsgegebenundalsdritteEbenedie<math>L_{2}\colon \,xz$ -Ebene um den Vektor ${\vec {v}}=(0,1,0)$ verschoben. Unser Ziel ist es eine Art $U$ zu konstruieren, wobei die Unterkante vom $U$ , die Ebene $L_{2}$ ist.

1.Ebene $\colon \,L_{1}\colon \,xz$ -Ebene mit $y=0$ .
2.Ebene $\colon \,L_{2}\colon \,xz$ -Ebene um den Vektor ${\vec {v}}=(0,1,0)$ verschoben, also mit $y=1$ .
3.Ebene $\colon \,L_{3}\colon \,yz$ -Ebene mit $x=0$ .