TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 552

Wir betrachten Systeme von drei Ebenengleichungen $f_{i}(x,y,z)=a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot y+a_{i3}\cdot z=b_{i}$ mit Lösungsmengen $L_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{3},i=1,2,3$. Geben Sie jewells elne Systemmatrix

$\left({\begin{array}{llll}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_{3}\end{array}}\right)$

mit geeigneten $a_{ij}$ und $b_{i}$ aus $\mathbb {R}$ so an, dass die $L_{i}$ folgende Lage zueinander haben:

(a) $L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}=\{(1,1,1)\}$.

(b) $L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}=\emptyset$, und alle drei Schnitte $L_{1}\cap L_{2},L_{1}\cap L_{3}$ und $L_{2}\cap L_{3}$ sind eindimensional und parallel zur $z$-Achse.

Dieses Beispiel ist als solved markiert. Ist dies falsch oder ungenau? Aktualisiere den Lösungsstatus (Details: Vorlage:Beispiel)

Lösungsvorschlag

von --Piri (Diskussion) 20:03, 29. Dez. 2018 (CET)

(a) Da es nur eine Lösung gibt müssen die 3 Ebenengleichungen linear unabhängig sein. Weiters, muss $x=y=z=1$ eine Lösung für alle 3 Gleichungen sein. D.h. man muss nur Koeffizienten finden, sodass die Systemmatrix eindeutig lösbar ist. Man sieht schnell dass die kanonischen Basisvektoren als Spaltenvektoren und $b_{1}=b_{2}=b_{3}=1$ diese Eigenschaften erfüllen:

${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\\end{pmatrix}}$

(b) Aus der Angabe ergeben sich 3 Bedingungen:

1. Je zwei Zeilenvektoren sind zueinander linear unabhängig (sonst wären sie geschnitten keine Gerade)

2. $a_{13}=a_{23}=a_{33}=0$, da sonst die Ebenen geschnitten keine Gerade parallel zur Z Achse ergeben würden.

3. Das gesamte Gleichungssystem ist nicht lösbar, also $rg(A\ b)>rg(A)$

Es ist wieder hilfreich sich zuerst die Kanonische Basis aufzuschreiben und sie dann so abzuwandeln bis man zum Ergebnis kommt:

${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&0&1\\1&1&0&1\\\end{pmatrix}}$

Hilfreiches von Har203

Vektorraum

Vektorraum

Sei $(V,+)$ eine abelsche Gruppe und $K$ ein Körper. $(V,+,K)$ heißt Vektorraum, wenn $\forall {\vec {x}},{\vec {y}}\in V,\forall \lambda ,\mu \in K$ folgendes gilt:

1. $\lambda \cdot ({\vec {x}}+{\vec {y}})=\lambda {\vec {x}}+\lambda {\vec {y}}$
2. $(\lambda +\mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda {\vec {x}}+\mu {x}$
3. $(\lambda \cdot \mu )\cdot {\vec {x}}=\lambda \cdot (\mu {\vec {x}})$
4. $1\cdot {\vec {x}}={\vec {x}}$

Untervektorraum

Untervektorraum

Sei $\quad \langle U,+,K\rangle$ ein Vektorraum, $\quad U\subseteq V$ heißt Unterraum oder Teilraum, wenn:

• $U\neq \varnothing$
• ${\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in U\Longrightarrow {\overrightarrow {x}}+{\overrightarrow {y}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U+U)$
• ${\overrightarrow {x}}\in U,\lambda \in K\Longrightarrow \lambda {\overrightarrow {x}}\in U\quad (U$ ist abgeschlossen bezüglich $U\cdot K)$

Ebene

In der analytischen Geometrie wird jeder Punkt im dreidimensionalen Raum mit Hilfe eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Koordinatentripel $(x,y,z)$ identifiziert. Eine Gleichung mit den Unbekannten $x$, $y$ und $z$ beschreibt dann eine Menge von Punkten im Raum, und zwar diejenigen Punkte, deren Koordinaten die Gleichung erfüllen. Ebenen sind nun dadurch ausgezeichnet, dass es sich bei einer solchen Gleichung um eine Gleichung lineare Gleichung handelt. Zur Notation von Ebenen werden verschiedene Schreibweisen verwendet. Die vor allem in der Schulmathematik gebräuchliche Schreibweise

$E\colon \,2x+3y=z$

bedeutet, dass die Ebene $E$ aus denjenigen Punkten besteht, deren Koordinaten $(x,y,z)$ die Ebenengleichung $2x+3y=z$ erfüllen. Die in der höheren Mathematik verwendete Mengenschreibweise lautet entsprechend

$E=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x+3y=z\}.$

Für Ebenengleichungen gibt es unterschiedliche Darstellungsformen, je nachdem welche Kenngrößen der Ebene vorgeschrieben sind.
[*] Hauptartikel: Ebenengleichung

Lineares Gleichungssystem

Allgemein lässt sich ein lineares Gleichungssystem mit $m$ Gleichungen und $n$ Unbekannten immer in die folgende Form bringen:

${\begin{matrix}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{1,n}x_{n}&=&b_{1}\\a_{2,1}x_{1}+a_{2,2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{2,n}x_{n}&=&b_{2}\\&&&\vdots &\\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}\,+&\dotsb &+\,a_{m,n}x_{n}&=&b_{m}\\\end{matrix}}$

Lineare Gleichungssysteme werden als homogen bezeichnet, wenn alle $b_{i}$ gleich 0 sind, andernfalls als inhomogen. Homogene Gleichungssysteme besitzen stets mindestens die sogenannte triviale Lösung, bei der alle Variablen gleich 0 sind. Bei inhomogenen Gleichungssystemen kann dagegen der Fall eintreten, dass überhaupt keine Lösung existiert.
[*] Hauptartikel: Lineares Gleichungssystem

Lösungsvorschlag von Har203

--Har203 00:56, 5. Mär. 2026 (CET)

Wir betrachten Systeme von drei Ebenengleichungen $f_{i}(x,y,z)=a_{i1}\cdot x+a_{i2}\cdot y+a_{i3}\cdot z=b_{i}$ mit Lösungsmengen $L_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{3},i=1,2,3$. Geben Sie jewells elne Systemmatrix

$\left({\begin{array}{llll}a_{11}&a_{12}&a_{13}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&b_{3}\end{array}}\right)$

mit geeigneten $a_{ij}$ und $b_{i}$ aus $\mathbb {R}$ so an, dass die $L_{i}$ folgende Lage zueinander haben:

(a) $L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}=\{(1,1,1)\}$.

(b) $L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}=\emptyset$, und alle drei Schnitte $L_{1}\cap L_{2},L_{1}\cap L_{3}$ und $L_{2}\cap L_{3}$ sind eindimensional und parallel zur $z$-Achse.

ad a) Wenn wir drei Ebenen hernehmen, speziell die Grundebenen $xy-,\,xz-,\,yz-$Ebenen und diese drei Ebenen schneiden, dann erhalten wir als Schnittpunkt den Ursprung $0=(0,0,0)$.

Wir können nun alle diese drei Ebenen von $x=0\to x=1,\,y=0\to y=1,\,z=0\to z=1$ verschieben und erhalten als Schnittpunkt genau den gesuchten Punkt $(1,1,1)$.

Für unsere Matrix $A_{1}$ bedeutet das folgende drei Gleichungen für $x,\,y,\,z$ und den Schnittpunkt ${\vec {B_{1}}}=(b_{1},b_{2},b_{3})=(1,1,1)$:

$A_{1}=\left({\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\0&1&0&1\\0&0&1&1\end{array}}\right)$.

ad b) $L_{1}\cap L_{2}\cap L_{3}=\emptyset$ und alle drei Schnitte $L_{1}\cap L_{2},L_{1}\cap L_{3}$ und $L_{2}\cap L_{3}$ sind eindimensional und parallel zur $z$-Achse.

• Anmerkung: Der Durchschnitt aller drei $L_{i}$soll die leere Menge $\emptyset$ sein, also keine gemeinsame Schnittpunkte haben.

• Anmerkung: Die drei Schnitte $L_{1}\cap L_{2},\,L_{1}\cap L_{3},\,L_{2}\cap L_{3}$ sollen eindimensional sein $\implies$ es werden drei Schnittgeraden gesucht, die parallel zur $z$-Achse liegen.

Die Grundidee:

• $z$ ist beliebig: Damit werden alle entstehenden Figuren entlang der $z$-Achse verlängert bzw. gestreckt und die Schnittgeraden verlaufen parallel zur $z$-Achse.

• Die erste Ebene ist in der $xy$-Ebene die $1$. Winkelhalbierende bei $(\pi /4)\equiv 45^{\circ }\implies x-y=0$ und $z$ beliebig.

• Die zweite Ebene ist in der $xy$-Ebene die $2$. Winkelhalbierende bei $(3/4)\cdot \pi \equiv 135^{\circ }\implies x+y=0<math>und<math>z$ beliebig.

• Die dritte Ebene ist in der $xy$-Ebene die Gerade parallel zur $x$-Achse mit $y=1\implies y-1=0$ und $z$ beliebig.

Daraus erstellen wir noch die Systemmatrix:

${\begin{alignedat}{1}&{\text{1. Ebene}}\colon \;&x-y=0,\quad &z\in \mathbb {R} \implies &a_{1}1=1,\quad &a_{1}2=1,\quad &a_{1}3=0,\quad &b_{1}=0\\&{\text{2. Ebene}}\colon \;&x+y=0,\quad &z\in \mathbb {R} \implies &a_{2}1=1,\quad &a_{2}2=-1,\quad &a_{2}3=0,\quad &b_{2}=0\\&{\text{3. Ebene}}\colon \;&y=1\quad &z\in \mathbb {R} \implies &a_{3}1=0,\quad &a_{3}2=1,\quad &a_{3}3=0,\quad &b_{3}=1\end{alignedat}}$

Endergebnis: Die vollständige Systemmatrix $A_{2}$:

$A_{2}=\left({\begin{array}{ccc|c}1&-1&0&0\\1&1&0&0\\0&1&0&1\end{array}}\right)$.

$\qquad \qquad \blacksquare$

Links

Wikipedia:

• Vektorraum
• Ebene
• Lineares Gleichungssystem
• Affiner Unterraum
• Untervektorraum

Ähnliche Beispiele:

• TU_Wien:Algebra_und_Diskrete_Mathematik_VU_(diverse)/Übungen_2025W/Beispiel_553