TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 388

Sei $\varphi :G\rightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $N$ ein Normalteiler von $H$ . Man zeige, daß dann $U=\varphi ^{-1}(N)$ ein Normalteiler von $G$ ist.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Homomorphismus

Homomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien $(G,\circ )$ und $(H,\star )$ Gruppen.

Eine Abbildung $\varphi :G\rightarrow H$ heißt Homomorphismus, falls gilt: $\varphi (a\circ b)=\varphi (a)\star \varphi (b)\quad \forall a,b\in G$ .

Normalteiler

Normalteiler

Eine Untergruppe $N\leq G$ heißt Normalteiler, wenn stets LNK = RNK gilt, d.h. $aN=Na,\forall a\in G$ . Für Normalteiler gilt: Die Menge der Nebenklassen $\{aN\mid a\in G\}$ bildet selbst eine Gruppe, die Faktorgruppe $G/N$ .