TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 531

Drei Produkte $P_{1},\,P_{2},\,P_{3}$ werden aus Rohstoffen $R_{1}$ und $R_{2}$ hergestellt. Die Herstellungskosten setzen sich aus den Rohstoffpreisen und den Arbeitskosten zusammen. Die benötigten Ressourcen sind in der folgenden Tabelle gegeben.
${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline Rohstoff/Produkt&P_{1}&P_{2}&P_{3}\\\hline R1&1&2&3\\\hline R2&2&3&1\\\hline Arbeit&7&8&3\\\hline \end{array}}$
Wie hoch sind die Kosten für $R_{1},\,R_{2}$ und Arbeit, wenn die Herstellungskosten der Produkte $P_{1},\,P_{2}$ bzw. $P_{3}\,\$ EUR $27,-,\,$ EUR $17,-,\,$ bzw. EUR $21,-$ betragen?
Beschreiben Sie diesen Zusammenhang mit Hilfe geeigneter linearer Abbildungen.

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== Lösungsvorschlag von ~~~ ==
--~~~~

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Hilfreiches von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lineare Abbildung

Definition:

Seien $<V,\oplus ,K>$ und $<W,\boxplus ,K>$ Vektorräume über dem Körper $K$ .

$f:V\rightarrow W$ heißt lineare Abbildung (Homomorphismus), wenn

$\forall {\overrightarrow {x}},{\overrightarrow {y}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}}\oplus {\overrightarrow {y}})=f({\overrightarrow {x}})\boxplus f({\overrightarrow {y}})$
$\forall \lambda \in K:\quad f(\lambda {\overrightarrow {x}})=\lambda f({\overrightarrow {x}})$

Jede lineare Abbildung kann auch durch eine Matrix $M$ festgelegt werden, für die gilt:

\forall {\overrightarrow {x}}\in V:\quad f({\overrightarrow {x}})=M{\overrightarrow {x}}

Umgekehrt legt jede Matrix $^{n\times m}$ eine lineare Abbildung fest.

Matrix

Eine Matrix ist also eine doppelt indizierte Familie. Formal ist dies eine Funktion

A\colon \{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\}\to K,\quad (i,j)\mapsto a_{ij},

die jedem Indexpaar $(i,j)$ als Funktionswert das Element $a_{ij}$ zuordnet. Beispielsweise wird dem Indexpaar $(1,2)$ als Funktionswert das Element $a_{12}$ zugeordnet. Der Funktionswert $a_{ij}$ ist also das Element in der $i$ -ten Zeile und der $j$ -ten Spalte. Die Variablen $m$ und $n$ entsprechen der Anzahl der Zeilen bzw. Spalten. Nicht zu verwechseln mit dieser formalen Definition einer Matrix als Funktion ist, dass Matrizen selbst lineare Abbildungen beschreiben.

Die Menge $\operatorname {Abb} \left(\{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\},K\right)$ aller $m\times n$ -Matrizen über der Menge $K$ wird in üblicher mathematischer Notation auch $K^{\{1,\dotsc ,m\}\times \{1,\dotsc ,n\}}$ geschrieben; hierfür hat sich die Kurznotation $K^{m\times n}$ eingebürgert. Manchmal werden die Schreibweisen $K^{m,n},$ $M(m\times n,K)$ oder seltener ${}^{m}K^{n}$ benutzt.

Lösungsvorschlag von Har203[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

--Har203 00:38, 10. Jan. 2026 (CET)

Als erstes formen wir die Matrix so um, dass wir die Rohstoffe und die Arbeit als Zeilen angeben, um mittels Gaußschem Eliminationsverfahren den Vektor ${\vec {x}}=\left({\begin{array}{ccc}x_{1},\,&x_{2},\,&x_{3}\end{array}}\right)^{T}$ mit den Kosten (in EUR $\,/\,$ €) für Rohstoffe bzw. Arbeit, $R1\;\equiv \;x_{1},\,R2\;\equiv \;x_{2},\,Arbeit\;\equiv \;x_{3}$ , berechnen zu können.

 ${\begin{array}{|c|c|c|c|}\hline Produkt/Rohstoff&R_{1}&R_{2}&Arbeit\\\hline P1&1&2&7\\\hline P2&2&3&8\\\hline P3&3&1&3\\\hline \end{array}}\mapsto \left({\begin{array}{ccc}1&2&7\\2&3&8\\3&1&3\end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}\,x_{1}\,\\\,x_{2}\,\\\,x_{3}\,\end{array}}\right)=\left({\begin{alignedat}{1}1\,\cdot &\,x_{1}+2\,\cdot &\,x_{2}+7\,\cdot &\,x_{3}\\2\,\cdot &\,x_{1}+3\,\cdot &\,x_{2}+8\,\cdot &\,x_{3}\\3\,\cdot &\,x_{1}+1\,\cdot &\,x_{2}+3\,\cdot &\,x_{3}\end{alignedat}}\right)=\left({\begin{array}{c}\,27\,\\\,17\,\\\,21\,\end{array}}\right)$

$\left({\begin{array}{cccc}1&2&7&27\\2&3&8&17\\3&1&3&21\end{array}}\right){\begin{array}{c|}\,\\(-2)\cdot Z1\,\\(-3)\cdot Z1\,\end{array}}=\left({\begin{array}{crrr}1&2&7&27\\0&-1&-6&-37\\0&-5&-18&-60\end{array}}\right){\begin{array}{c|}+2\cdot Z2\,\\Z2=(-1)\cdot Z2\,\\(-5)\cdot Z2\,\end{array}}=\left({\begin{array}{ccrr}1&0&-5&-47\\0&1&6&37\\0&0&12&125\end{array}}\right){\begin{array}{c|}+{\frac {5}{12}}\cdot Z3\,\\-({\frac {1}{2}})\cdot Z3\,\\Z3=Z3\cdot {\frac {1}{12}}\,\end{array}}=\left({\begin{array}{cccr}1&0&0&{\frac {61}{12}}\\0&1&0&{\frac {-51}{2}}\\0&0&1&{\frac {125}{12}}\end{array}}\right)$