TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 195

Man gebe explizit die Fourier-Matrix $F_4$ und deren Inverse $F_4^{-1}$ zur Diskreten Fourier-

Transformation mit $N=4$ an. Insbesondere führe man damit für den Vektor $\overrightarrow{f}=(10,2,4,16{)}^T$ die DFT und anschließend die IDFT durch.

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Hilfreiches

Fourier-Matrix

Fourier-Matrix

Fourier-Matrix: $F_N=\left(\begin{array}{ccccc}1& 1& 1& \cdots & 1\\ 1& w& w^2& \cdots & w^{N-1}\\ 1& w^2& w^4& \cdots & w^{2(N-1)}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 1& w^{N-1}& w^{2(N-1)}& \cdots & w^{(N-1{)}^2}\end{array}\right)$, mit $w=e^{-\frac{i2\pi }{N}}$

Inverse Matrix: $F_N^{-1}=\overline{F_N}$, wobei $\overline{F_N}$ die komplex konjugierte Fourier-Matrix darstellt.

Wird statt $w=e^{-\frac{i2\pi }{N}}$, $w=e^{\frac{i2\pi }{N}}$ verwendet, so müssen die Konjugationen vertauscht werden.

Diskrete Fourier-Transformationen

Diskrete Fourier-Transformationen

DFT

Transformation in den Frequenzbereich. Entspricht Bestimmung der Fourier-Koeffizienten (Amplitude und Phase für jede Frequenz $k$).

$c_k=\frac{1}{N}\sum _{j=0}^{N-1}{y}_j{w}^{-kj},k=0,1,\mathrm{...}N-1$

bzw mit Fourier-Matrix $F_N$ (Die inverse bzw. konjugiert komplexe Fourier-Matrix wird dafür benötigt $F_N^{-1}=\frac{1}{N}\overline{F_N}$)

$\overrightarrow{c}=F_N^{-1}\overrightarrow{y}=\frac{1}{N}\overline{F_N}\overrightarrow{y}$

IDFT

Rücktransformation in den Zeitbereich. Entspricht Rekonstruktion des Signals auf Basis der Fourier-Koeffizienten.

$y_j=\sum _{k=0}^{N-1}{c}_k{w}^{kj},j=0,1,\mathrm{...}N-1w=e^{\frac{i2\pi }{N}}$

bzw mit Fourier-Matrix:

$\overrightarrow{y}=F_N\overrightarrow{c}$

Wichtig: Die Normalisierung $\frac{1}{N}$ kann entweder bei der DFT oder bei der IDFT vorgenommmen werden. Das ist reine Konventionssache.

Eulersche Formel

SS16: Weil es immer wieder zur Diskussion kommt, warum man einmal den Faktor $1/n$ benutzt, gelten die Umrechnungen zwischen DFT und IDFT allgemein folgendermaßen: (Buch Seite 362)

Fourier Koeffizienten:

$c=F_{N}y$

Vektor y der Fourier Koeffizienten: (andere Richtung)

$y=\frac{1}{N}\overline{F_N}c$

Wenn man sich an diese allgemeinen Formeln/Definitionen hält, dann funktioniert die Umrechnung DFT/IDFT problemlos.

Um Energieerhaltung zu erzielen kann man auch sowohl für DFT als auch IDFT den Faktor $\frac{1}{\sqrt{N}}$ verwenden, wichtig ist dass es insgesamt $\frac{1}{N}$ für die Normalisierung ist, ob vorher oder nachher ist reine Konventionssache. Siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/DFT_matrix#Unitary_transform.

Lösungsvorschlag

$\overrightarrow{y}=(10,2,4,16)$

$N=4$

$F_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& e^{-\frac{\pi }{2}i}& e^{-\pi i}& e^{-\frac{3\pi }{2}i}\\ 1& e^{-\pi i}& e^{-2\pi i}& e^{-3\pi i}\\ 1& e^{-\frac{3\pi }{2}i}& e^{-3\pi i}& e^{-\frac{9\pi }{2}i}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -i& -1& i\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& i& -1& -i\end{array}\right)$

Inverse Matrix via komplexe Konjugation (Vorzeichen umdrehen bei Euler'scher Formel): $\cos \phi -i\ast \sin \phi$

$F_4^{-1}=\frac{1}{4}\overline{F_4}=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& i& -1& -i\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -i& -1& i\end{array}\right)$

DFT

$c0=\frac{1}{4}(10(1)+2(1)+4(1)+16(1))=8$

$c1=\frac{1}{4}(10(1)+2(-i)+4(-1)+16(i))=\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i$

$c2=\frac{1}{4}(10(1)+2(-1)+4(1)+16(-1))=-1$

$c3=\frac{1}{4}(10(1)+2(i)+4(-1)+16(-i))=\frac{3}{2}-\frac{7}{2}i$

$\overrightarrow{c}=(8,\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i,-1,\frac{3}{2}-\frac{7}{2}i)$

IDFT

$y0=(8(1)+(\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i)(1)+(-1)(1)+(\frac{3}{2}-\frac{7}{2}i)(1))=10$

$y1=(8(1)+(\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i)(i)+(-1)(-1)+(\frac{3}{2}-\frac{7}{2}i)(-i))=2$

$y2=(8(1)+(\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i)(-1)+(-1)(1)+(\frac{3}{2}-\frac{7}{2}i)(-1))=4$

$y3=(8(1)+(\frac{3}{2}+\frac{7}{2}i)(-i)+(-1)(-1)+(\frac{3}{2}-\frac{7}{2}i)(i))=16$

$\overrightarrow{y}=(10,2,4,16)$

Links

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