TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 195

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Man gebe explizit die Fourier-Matrix und deren Inverse zur Diskreten Fourier-

Transformation mit an. Insbesondere führe man damit für den Vektor die DFT und anschließend die IDFT durch.

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Hilfreiches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fourier-Matrix
Fourier-Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fourier-Matrix: , mit

Inverse Matrix: , wobei die komplex konjugierte Fourier-Matrix darstellt.

Wird statt , verwendet, so müssen die Konjugationen vertauscht werden.

Diskrete Fourier-Transformationen
Diskrete Fourier-Transformationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

DFT

Transformation in den Frequenzbereich. Entspricht Bestimmung der Fourier-Koeffizienten (Amplitude und Phase für jede Frequenz ).

bzw mit Fourier-Matrix (Die inverse bzw. konjugiert komplexe Fourier-Matrix wird dafür benötigt )

IDFT

Rücktransformation in den Zeitbereich. Entspricht Rekonstruktion des Signals auf Basis der Fourier-Koeffizienten.

bzw mit Fourier-Matrix:

Wichtig: Die Normalisierung kann entweder bei der DFT oder bei der IDFT vorgenommmen werden. Das ist reine Konventionssache.

Eulersche Formel

Kategorie:Eulersche Formel

SS16: Weil es immer wieder zur Diskussion kommt, warum man einmal den Faktor benutzt, gelten die Umrechnungen zwischen DFT und IDFT allgemein folgendermaßen: (Buch Seite 362)

Fourier Koeffizienten:

Vektor y der Fourier Koeffizienten: (andere Richtung)

Wenn man sich an diese allgemeinen Formeln/Definitionen hält, dann funktioniert die Umrechnung DFT/IDFT problemlos.

Um Energieerhaltung zu erzielen kann man auch sowohl für DFT als auch IDFT den Faktor verwenden, wichtig ist dass es insgesamt für die Normalisierung ist, ob vorher oder nachher ist reine Konventionssache. Siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/DFT_matrix#Unitary_transform.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Inverse Matrix via komplexe Konjugation (Vorzeichen umdrehen bei Euler'scher Formel):

DFT

IDFT

Links[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Diskussion im Forum [1]