TU Wien:Analysis 2 UE (diverse)/Übungen SS23/Beispiel 195

Man gebe explizit die Fourier-Matrix $F_{4}$ und deren Inverse $F_{4}^{-1}$ zur Diskreten Fourier-

Transformation mit $N=4$ an. Insbesondere führe man damit für den Vektor ${\vec {f}}=(10,2,4,16)^{T}$ die DFT und anschließend die IDFT durch.

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Hilfreiches

Fourier-Matrix

Fourier-Matrix

Fourier-Matrix: $F_{N}={\begin{pmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&w&w^{2}&\cdots &w^{N-1}\\1&w^{2}&w^{4}&\cdots &w^{2(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&w^{N-1}&w^{2(N-1)}&\cdots &w^{(N-1)^{2}}\\\end{pmatrix}}$, mit $w=e^{-{\frac {i2\pi }{N}}}$

Inverse Matrix: $F_{N}^{-1}={\overline {F_{N}}}$, wobei ${\overline {F_{N}}}$ die komplex konjugierte Fourier-Matrix darstellt.

Wird statt $w=e^{-{\frac {i2\pi }{N}}}$, $w=e^{\frac {i2\pi }{N}}$ verwendet, so müssen die Konjugationen vertauscht werden.

Diskrete Fourier-Transformationen

Diskrete Fourier-Transformationen

DFT

Transformation in den Frequenzbereich. Entspricht Bestimmung der Fourier-Koeffizienten (Amplitude und Phase für jede Frequenz $k$).

$c_{k}={\frac {1}{N}}\sum _{j=0}^{N-1}y_{j}w^{-kj},\quad \quad k=0,1,...N-1$

bzw mit Fourier-Matrix $F_{N}$ (Die inverse bzw. konjugiert komplexe Fourier-Matrix wird dafür benötigt $F_{N}^{-1}={\tfrac {1}{N}}{\overline {F_{N}}}$)

${\vec {c}}=F_{N}^{-1}{\vec {y}}={\tfrac {1}{N}}{\overline {F_{N}}}{\vec {y}}$

IDFT

Rücktransformation in den Zeitbereich. Entspricht Rekonstruktion des Signals auf Basis der Fourier-Koeffizienten.

$y_{j}=\sum _{k=0}^{N-1}c_{k}w^{kj},\quad \quad j=0,1,...N-1\quad \quad \quad w=e^{\frac {i2\pi }{N}}$

bzw mit Fourier-Matrix:

${\vec {y}}=F_{N}{\vec {c}}$

Wichtig: Die Normalisierung ${\tfrac {1}{N}}$ kann entweder bei der DFT oder bei der IDFT vorgenommmen werden. Das ist reine Konventionssache.

Eulersche Formel

SS16: Weil es immer wieder zur Diskussion kommt, warum man einmal den Faktor $1/n$ benutzt, gelten die Umrechnungen zwischen DFT und IDFT allgemein folgendermaßen: (Buch Seite 362)

Fourier Koeffizienten:

$c=F_{N}y$

Vektor y der Fourier Koeffizienten: (andere Richtung)

$y={\tfrac {1}{N}}{\overline {F_{N}}}c$

Wenn man sich an diese allgemeinen Formeln/Definitionen hält, dann funktioniert die Umrechnung DFT/IDFT problemlos.

Um Energieerhaltung zu erzielen kann man auch sowohl für DFT als auch IDFT den Faktor ${\tfrac {1}{\sqrt {N}}}$ verwenden, wichtig ist dass es insgesamt ${\tfrac {1}{N}}$ für die Normalisierung ist, ob vorher oder nachher ist reine Konventionssache. Siehe auch https://en.wikipedia.org/wiki/DFT_matrix#Unitary_transform.

Lösungsvorschlag

${\vec {y}}=(10,2,4,16)$

$\;N=4$

$F_{4}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&e^{-{\frac {\pi }{2}}i}&e^{-\pi i}&e^{-{\frac {3\pi }{2}}i}\\1&e^{-\pi i}&e^{-2\pi i}&e^{-3\pi i}\\1&e^{-{\frac {3\pi }{2}}i}&e^{-3\pi i}&e^{-{\frac {9\pi }{2}}i}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-i&-1&i\\1&-1&1&-1\\1&i&-1&-i\end{pmatrix}}$

Inverse Matrix via komplexe Konjugation (Vorzeichen umdrehen bei Euler'scher Formel): $\;\cos \varphi -i*\sin \varphi$

$F_{4}^{-1}={\tfrac {1}{4}}{\overline {F_{4}}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&i&-1&-i\\1&-1&1&-1\\1&-i&-1&i\\\end{pmatrix}}$

DFT

$c0=\;{\tfrac {1}{4}}(10(1)+2(1)+4(1)+16(1))=8$

$c1=\;{\tfrac {1}{4}}(10(1)+2(-i)+4(-1)+16(i))={\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {7}{2}}i$

$c2=\;{\tfrac {1}{4}}(10(1)+2(-1)+4(1)+16(-1))=-1$

$c3=\;{\tfrac {1}{4}}(10(1)+2(i)+4(-1)+16(-i))={\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {7}{2}}i$

${\vec {c}}=(8,{\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {7}{2}}i,-1,{\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {7}{2}}i)$

IDFT

$y0=(8(1)+({\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {7}{2}}i)(1)+(-1)(1)+({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {7}{2}}i)(1))=10$

$y1=(8(1)+({\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {7}{2}}i)(i)+(-1)(-1)+({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {7}{2}}i)(-i))=2$

$y2=(8(1)+({\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {7}{2}}i)(-1)+(-1)(1)+({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {7}{2}}i)(-1))=4$

$y3=(8(1)+({\tfrac {3}{2}}+{\tfrac {7}{2}}i)(-i)+(-1)(-1)+({\tfrac {3}{2}}-{\tfrac {7}{2}}i)(i))=16$

${\vec {y}}=(10,2,4,16)$

Links

• Diskussion im Forum [1]